次に「証明路開発支援システム(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所」の「一意分解整域の別の定義」の部分の(5)から(8)までを見ていきます。
(F) 既約元の積に分解可能
の
でも単元でもない任意の元
に対して既約元
が存在して
と表すことができる。
(U) 既約元の積の表現は一意的
とし、
、
を
の既約元とすると、
ならば
であり、適当に並べ替えると任意の
に対して
となる。
(9) 一意分解整域ならば(F)が成り立ちます。
[証明]
(2)より成り立ちます。
[証明終わり]
(10) 一意分解整域ならば(U)が成り立ちます。
[証明]
(4)と(3)より成り立ちます。
[証明終わり]
(11) (F)かつ(U)が成り立つ整域ならば既約元は素元となります。
[証明]
-
を(F)かつ(U)が成り立つ整域とします。
-
を
-
-
とします。
-
または
が成り立つことを証明します。
-
が存在して
となります。
- (F)より
、
、
が存在して
、
、
となります。
-
となります。
- (U)より
のどれかと同伴となります。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(12) (F)かつ(U)が成り立つ整域ならば一意分解整域となります。
[証明]
(11)より成り立ちます。
[証明終わり]
