非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

証明路開発支援システム(19)

証明路開発支援システム

「シローの定理」について調べます。

を参照します。証明を見るとある程度計算でできる証明があるようです。

(1) 写像による分類

一般的な用語は不明ですが写像に対して成り立ちます。

$f: X \to Y$ を写像とします。
$\mathrm{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in X \}$ とおきます。
$i \in \mathrm{Im}(f)$ のとき $f^{-1}(i) = \{ x \in X \mid f(x) = i \}$ とおきます。
$\displaystyle X = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(f)} f^{-1}(i)$ と共通部分のない部分集合に分割できます。
$X$ が有限集合のとき $\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |f^{-1}(i)|$ が成り立ちます。

(2) 群の剰余類分解

$G$ を有限群、 $H$ を $G$ の部分群とします。
$f_H: G \to \mathfrak{P}(G)$ を左剰余類に写す写像 $x \mapsto xH$ とします。
左剰余類全体の集合を $G/H$ とします。
$G/H = \{ xH \mid x \in G \}$
$G/H = \mathrm{Im}(f_H)$ となります。
$f_H^{-1}(xH) = xH$ より $f_H^{-1}(i)$ はある左剰余類 $xH$ に一致します。
$\displaystyle G = \bigsqcup_{i \in G/H} f_H^{-1}(i)$ と左剰余類に分解できます。
の元の個数はによらずすべて等しいことを証明します。
- $z \in xH$ ならば $yx^{-1}z \in yH$
- $w \in yH$ ならば $xy^{-1}w \in xH$
- よって任意の $x, \ y \in G$ に対して $xH$ と $yH$ の元の個数は等しくなります。
$H = eH$ なので $G/H$ の元(左剰余類)の元の個数はすべて $H$ の元の個数に等しくなり
$|G| = |G/H| \cdot |H|$
が成り立ちます。

(3) 対称群の固定部分群による分解

$\mathfrak{S}(n)$ を $n$ 次の対称群とします。
$n$ を固定する置換の全体を $\mathfrak{S}(n-1)$ とします。
$\mathfrak{S}(n-1) = \{ s \in \mathfrak{S}(n) \mid s(n) = n \}$
$\mathfrak{S}(n-1)$ は $\mathfrak{S}(n)$ の部分群になります。
$f_{\mathfrak{S}(n-1)}: \mathfrak{S}(n) \to \mathfrak{P}(\mathfrak{S}(n))$ を $s \mapsto s\mathfrak{S}(n-1)$ とおきます。
$\mathrm{Im}(f_{\mathfrak{S}(n-1)}) = \{ s\mathfrak{S}(n-1) \mid s \in \mathfrak{S}(n) \}$ となります。
$O(n) = \{ s(n) \mid s \in \mathfrak{S}(n) \}$ とおきます(軌道)。
$s\mathfrak{S}(n-1) = t\mathfrak{S}(n-1) \iff t^{-1}s \in \mathfrak{S}(n-1) \iff t^{-1}s(n) = n \iff s(n) = t(n)$
となります。よって $|\mathrm{Im}(f_{\mathfrak{S}(n-1)})| = |O(n)|$ が成り立ちます。
$|\mathfrak{S}(n)| = |O(n)| \cdot |\mathfrak{S}(n-1)|$ が成り立ちます。

(4) $X$ の置換群の固定部分群による分解

$X$ を有限集合、 $\mathfrak{S}(X)$ を $X$ の置換群とします。
$x \in X$ を固定する置換の全体を $\mathrm{Stab}(x)$ とします。
$\mathrm{Stab}(x) = \{ s \in \mathfrak{S}(X) \mid s(x) = x \}$
$\mathrm{Stab}(x)$ は $\mathfrak{S}(X)$ の部分群になります。
$f_{\mathrm{Stab}(x)}: \mathfrak{S}(X) \to \mathfrak{P}(\mathfrak{S}(X))$ を $s \mapsto s\mathrm{Stab}(x)$ とおきます。
$\mathrm{Im}(f_{\mathrm{Stab}(x)}) = \{ s\mathrm{Stab}(x) \mid s \in \mathfrak{S}(X) \}$ となります。
$O(x) = \{ s(x) \mid s \in \mathfrak{S}(X) \}$ とおきます(軌道)。
$|\mathrm{Im}(f_{\mathrm{Stab}(x)})| = |O(x)|$ が成り立ちます。
$|\mathfrak{S}(X)| = |O(x)| \cdot |\mathrm{Stab}(x)|$ が成り立ちます。

(5) 群の作用

$G$ を有限群、 $X$ を有限集合とします。
( $G$ の $X$ への作用)
$\rho: G \to \mathfrak{S}(X)$ を群の準同型とします。
$x \in X$ とします。
(固定部分群) $x$ を固定する元全体の集合
$G_x = \{ g \in G \mid \rho(g)(x) = x \}$
は $G$ の部分群になります。
(軌道) $O: X \to \mathfrak{P}(X)$ を
$O(x) = \{ \rho(g)(x) \mid g \in G \}$ とおきます。
$f_x: G \to \mathfrak{P}(G)$ を左剰余類に写す写像 $g \mapsto gG_x$ とします。
$f_x^{-1}(gG_x) = gG_x$ より $f_x^{-1}(i)$ はある左剰余類 $gG_x$ に一致します。
$\displaystyle G = \bigsqcup_{i \in G/G_x} f_x^{-1}(i)$ と左剰余類に分解できます。
$|G| = |G/G_x| \cdot |G_x|$ が成り立ちます。
$gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x \iff \rho(h^{-1}g)(x) = x \iff \rho(g)(x) = \rho(h)(x)$
となります。よって $|G/G_x| = |O(x)|$ が成り立ちます。
$|G| = |O(x)| \cdot |G_x|$ が成り立ちます。
$O^{-1}(O(x)) = O(x)$ より $O^{-1}(i)$ はある軌道 $O(x)$ に一致します。
$\displaystyle X = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(O)} O^{-1}(i)$ と軌道に分解できます。
$\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(O)} |O^{-1}(i)|$ が成り立ちます。

(6) シローの定理

$G$ を位数 $n$ の有限群、 $p$ を素数、 $n = p^am$ 、 $p \not\mid m$ とします。このとき位数 $p^a$ の $G$ の部分群が存在します。

$X = \{ S \mid S \subseteq G, \ |S| = p^a \}$ とおきます。
はで割り切れないことを証明します。
- $\displaystyle |X| = \binom{n}{p^a} = \prod_{k = 0}^{p^a-1} \frac{n-k}{p^a-k}$
- $0 \le k < p^a$ 、 $k = p^bl$ 、 $p \not\mid l$ とします。
- $k$ は $p^a$ で割り切れないので $a > b$
- $\displaystyle \frac{n - k}{p^a-k} = \frac{p^am - p^bl}{p^a-p^bl} = \frac{p^{a-b}m - l}{p^{a-b}-l}$
  は $p$ で割り切れません。なぜなら $p^{a-b}m$ は $p$ で割り切れ、 $l$ は $p$ で割り切れないので $p^{a-b}m - l$ は $p$ で割り切れないためです。
- よって $X$ は $p$ で割り切れません。
はで割り切れないことを証明します。
- $\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(O)} |O^{-1}(i)|$
- $i \in \mathrm{Im}(O)$ が存在して $p \not\mid |O^{-1}(i)|$
- $S \in X$ が存在して $O^{-1}(i) = O(S)$
- よって $p \not\mid |O(S)|$
$H = \mathrm{Stab}(S) = \{ g \in G \mid gS = S \}$ とおきます。
$H$ は $G$ の部分群になります。
はの約数であることを証明します。
- $f: S \to \mathfrak{P}(S)$ を $s \mapsto Hs$
- $f^{-1}(Hs) = Hs$ より $f^{-1}(i)$ はある右剰余類 $Hs$ に一致します。
- $\displaystyle |S| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |f^{-1}(i)| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |H| = |\mathrm{Im}(f)| \cdot |H|$
- $|H| \mid |S| = p^a$
$|G| = |O(S)| \cdot |H|$ で $|G| = p^am$ 、 $|O(S)|$ は $p$ で割り切れないので $|H|$ は $p^a$ で割り切れます。
よって $|H| = p^a$ が成り立ちます。

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