非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

証明路開発支援システム(20)

証明路開発支援システム

シローの定理(2)

「シローの定理」は「証明路」にすることは難しそうですが、計算で証明できるようにすることはできるかもしれません。計算でどれだけできるか調べてみます。

(1) 写像による分類

$f: X \to Y$ を写像とします。
$\mathrm{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in X \}$ とおきます。
$i \in \mathrm{Im}(f)$ のとき $f^{-1}(i) = \{ x \in X \mid f(x) = i \}$ とおきます。
$\displaystyle X = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(f)} f^{-1}(i)$ と共通部分のない部分集合に分割できます。
$X$ が有限集合のとき $\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |f^{-1}(i)|$ が成り立ちます。
$X$ が有限集合で、任意の $i, \ j \in \mathrm{Im}(f)$ に対して $|f^{-1}(i)| = |f^{-1}(j)|$ であれば $i \in \mathrm{Im}(f)$ に対して $\displaystyle |X| = |\mathrm{Im}(f)| \cdot |f^{-1}(i)|$ が成り立ちます。

(2) 左剰余類による分類

$G$ を群、 $H$ を $G$ の部分群とします。
$X$ を $G$ の部分集合で任意の $x \in X$ に対して $xH \subseteq X$ とします。
$f: X \to \mathfrak{P}(G)$ を $x \mapsto xH$ とします。
$\mathrm{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in X \} = \{ xH \mid x \in X \}$ とおきます。
$X = G$ のとき $\mathrm{Im}(f)$ を $G/H$ と書きます。
$i \in \mathrm{Im}(f)$ のとき $f^{-1}(i) = \{ x \in X \mid f(x) = i \}$ とおきます。
$y \in f^{-1}(f(x)) \iff f(y) = f(x) \iff yH = xH \iff y \in xH$ より
$f^{-1}(f(xH)) = xH$
$\displaystyle X = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(f)} f^{-1}(i) = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(f)} r(i)H$
ここで $r(i)$ は $\mathrm{Im}(f)$ の元から一つずつ元を取り出す写像とします。
$X$ が有限集合のとき $x, \ y \in X$ に対して
$z \in xH \iff yx^{-1}z \in yH$ より
$|xH| = |yH|$
$X$ が有限集合のとき
$\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |r(i)H| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f)} |H| = |\mathrm{Im}(f)| \cdot |H|$
が成り立ちます。

(3) 右剰余類による分類

(2) と同様です。

(4) 群の作用

$G$ を有限群、 $X$ を有限集合とします。
$\rho: G \to \mathfrak{S}(X)$ を群の準同型とします。
$x \in X$ とします。
$G_x = \{ g \in G \mid \rho(g)(x) = x \}$
は $G$ の部分群になります。
$O: X \to \mathfrak{P}(X)$ を
$O(x) = \{ \rho(g)(x) \mid g \in G \}$ とおきます。
$_x: G \to \mathfrak{P}(G)$ を左剰余類に写す写像 $g \mapsto gG_x$ とします。
$f^{-1}(i)$ はある左剰余類 $r(i)G_x$ に一致します。
$\displaystyle G = \bigsqcup_{i \in G/G_x} r(i)G_x$ と左剰余類に分解できます。
$|G| = |G/G_x| \cdot |G_x|$ が成り立ちます。
$gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x \iff \rho(h^{-1}g)(x) = x \iff \rho(g)(x) = \rho(h)(x)$
となります。よって $|G/G_x| = |O(x)|$ が成り立ちます。
$|G| = |O(x)| \cdot |G_x|$ が成り立ちます。
$y \in O(x)$
$\iff y \in \{ \rho(g)(x) \mid g \in G \}$
$\iff$ $g \in G$ が存在して $y = \rho(g)(x)$
$\iff$ $g \in G$ が存在して $\rho(g^{-1})y = x$
$\iff$ $g \in G$ が存在して $x = \rho(g)(y)$
$\iff x \in O(y)$
$y \in O(x)$ とします。
$z \in O(y)$
$\iff$ $g \in G$ が存在して $z = \rho(g)(y)$
$\implies$ $g, \ h \in G$ が存在して $z = \rho(g)(\rho(h)(x))$
$\implies$ $g, \ h \in G$ が存在して $z = \rho(gh)(x)$
$\implies z \in O(x)$
$z \in O(x)$ ならば $x \in O(y)$ なので上の議論から $z \in O(y)$
よって $O(y) = O(x)$
$y \in O(y)$ なので $y \in O(x) \iff O(y) = O(x)$
$y \in O^{-1}(O(x)) \iff O(y) = O(x)$ より $O^{-1}(O(x)) = O(x)$
$\displaystyle X = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(O)} O^{-1}(i) = \bigsqcup_{i \in \mathrm{Im}(O)} O(c(i))$ と軌道に分解できます。
ここで $c(i)$ は $\mathrm{Im}(O)$ の元から一つずつ元を取り出す写像とします。
$\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(O)} |O(c(i))|$ が成り立ちます。

(5)

$n$ 、 $m$ を正の整数、 $n > m$ とします。
元の個数が $n$ の集合の、元の個数が $m$ の部分集合の総数は
$\displaystyle \binom{n}{m} = \prod_{k = 0}^{m-1} \frac{n-k}{m-k}$
となります。

(6)

$p$ を素数、 $n$ を正の整数とするとき
$\displaystyle d_p(n) = \max_{p^e | n} e$ とします。

$d_p(m + n) \ge \min(d_p(m), d_p(n))$
$d_p(m) \ne d_p(n)$ のとき $d_p(m + n) = \min(d_p(m), d_p(n))$
$d_p(mn) = d_p(m) + d_p(n)$
$n \mid m$ のとき $d_p(m / n) = d_p(m) - d_p(n)$

シローの定理

$G$ を位数 $n$ の有限群、 $p$ を素数、 $n = p^am$ 、 $p \not\mid m$ とします。このとき位数 $p^a$ の $G$ の部分群が存在します。

証明

$X = \{ S \mid S \subseteq G, \ |S| = p^a \}$ とおきます。
を証明します。
- $\displaystyle |X| = \binom{n}{p^a} = \prod_{k = 0}^{p^a-1} \frac{n-k}{p^a-k}$
- $\displaystyle d_p(|X|) = \sum_{k = 0}^{p^a-1} d_p(\frac{n-k}{p^a-k}) = \sum_{k = 0}^{p^a-1} (d_p(n-k) - d_p(p^a-k))$
- $k = 0$ のとき $d_p(n-k) - d_p(p^a-k) = d_p(n) - d_p(p^a) = a - a = 0$
- $k > 0$ のとき $d_p(k) < a$
- $k > 0$ のとき $d_p(n-k) - d_p(p^a-k) = \min(d_p(n), d_p(k)) - \min(d_p(p^a), d_p(k)) = d_p(k) - d_p(k) = 0$
- $\displaystyle d_p(|X|) = \sum_{k = 0}^{p^a-1} (d_p(n-k) - d_p(p^a-k)) \le 0$
- $d_p(|X|) = 0$
$O: X \to \mathfrak{P}(X)$ を $O(S) = \{ gS \mid g \in G \}$ とおきます。
となるが存在することを証明します。
- $\displaystyle |X| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(O)} |O^{-1}(i)|$
- $\displaystyle 0 = d_p(|X|) \ge \min_{i \in \mathrm{Im}(O)} d_p(|O^{-1}(i)|)$
- $i \in \mathrm{Im}(O)$ が存在して $d_p(|O^{-1}(i)|) = 0$
- $S \in X$ が存在して $O^{-1}(i) = O(S)$
- よって $d_p(|O(S)|) = 0$
$H = \mathrm{Stab}(S) = \{ g \in G \mid gS = S \}$ とおきます。
$H$ は $G$ の部分群になります。
を証明します。
- $f_H: G \to \mathfrak{P}(G)$ を $g \mapsto gH$ とします。
- $f_{H}^{-1}(gH) = gH$ より $f_{H}^{-1}(i)$ はある左剰余類 $gH$ に一致します。
- $|O(S)| = |G/H|$ であることから
  $\displaystyle |G| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f_H)} |f_H^{-1}(i)| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f_H)} |H| = |\mathrm{Im}(f_H)| \cdot |H| = |G/H| \cdot |H| = |O(S)| \cdot |H|$
- $a = d_p(|G|) = d_p(|O(S)|) + d_p(|H|) = d_p(|H|)$
はの約数であることを証明します。
- $f_{S,H}: S \to \mathfrak{P}(S)$ を $s \mapsto Hs$ とします。
- $f_{S,H}^{-1}(Hs) = Hs$ より $f_{S,H}^{-1}(i)$ はある右剰余類 $Hs$ に一致します。
- $\displaystyle p^a = |S| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f_{S,H})} |f_{S,H}^{-1}(i)| = \sum_{i \in \mathrm{Im}(f_{S,H})} |H| = |\mathrm{Im}(f_{S,H})| \cdot |H|$
- $|H| \mid |S| = p^a$
よって $|H| = p^a$ が成り立ちます。

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