証明路開発支援システム(21)

整列可能定理(1)

整列可能定理について調べてみます。以下の本を参考にします。

• 公理的集合論への一歩　無限についてのおはなし (数学セミナーライブラリー)
• 新装改版 集合への30講 数学30講シリーズ
  • 帰納的順序集合定理 ⇒ 整列可能定理 (証明の概要)
• 集合論入門 (ちくま学芸文庫)
  • 選択公理 ⇒ 整列可能定理
• 集合と位相(増補新装版)(数学シリーズ)
  • ツォルンの補題 ⇒ 整列可能定理
• 手を動かしてまなぶ 集合と位相
  • 証明はない
• 新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス)
  • 証明はない

ここでは『 公理的集合論への一歩　無限についてのおはなし (数学セミナーライブラリー)』の定理2.11を見ていきます。本来は集合論の公理系から証明するのですが、ここでは計算でどれだけできるかを見ていきます。定理は以下のようになります。

集合 に対して順序数 と全単射 が存在する。

証明

• をとります。
  
• 選択公理より選択関数 があります。
  
• 各順序数 に対して集合 を
  
  と定義できます。
  • ここで は関数の制限、 は関数の値域
• 集合 を とおきます。
  • ここで は順序数全体
• の各元 に対して順序数 を となる順序数で最小のものとします。
  
• とすると は順序数からなる集合となります。
  
• とすると と の定義より が成り立ちます。
  • ここで
    
• は となる順序数 で最小です。
  
• を示します。
  • そうでないとすると より です。
    
  • なので となります。
    
  • しかし の定義より
    
    であり が の選択関数であるから
    
    となりますが、これは の定義に反します。
    
  • したがって となります。
• 以上より が となる順序数 で最小のものであることがわかります。
  
• とすると が全単射となることが の定義と の最小性からわかります。

公理的集合論への一歩　無限についてのおはなし (数学セミナーライブラリー)

新装改版 集合への30講 数学30講シリーズ

集合論入門 (ちくま学芸文庫)

集合と位相(増補新装版)(数学シリーズ)

手を動かしてまなぶ 集合と位相

新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス)

グラフ理論入門(原書第4版)

可換環論の勘どころ (数学のかんどころ 32)

代数学２　環と体とガロア理論　第２版

初等整数論入門 (ちくま学芸文庫)

発見・予想を積み重ねる ―それが整数論

はじめての数論　原著第4版

数論序説

群論 日評ベーシック・シリーズ

代数学１　群論入門　第２版

代数学1群と環 (大学数学の入門 1)

代数系入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 3)

数学セミナー2026年6月号　通巻776号【特集】高校生におすすめの整数論

ガウスの黄金定理　平方剰余の相互法則で語る数論の世界 (ブルーバックス)

平方剰余の相互法則: ガウスの全証明

数論への出発 増補版

共立講座21世紀の数学 (20) 整数論