証明路開発支援システム(25) - 非専門的シンギュラリティー研究所

整列可能定理(4)

いったん順序数に対して集合の記法が使えるかどうかを ChatGPT で調べてみます。

順序数に対して、集合の記法を使っても良いですか？

と入力すると以下の回答が返ってきました。

はい。順序数（ordinal number）は、集合として表してよいです。むしろ、現代的な集合論では通常、順序数を集合として定義します。
代表的なのが フォン・ノイマンの順序数です。

1. 順序数を集合として定義する

順序数 $\alpha$ は、
$\alpha=\{\beta\mid \beta<\alpha\}$
つまり、 $\alpha$ より小さいすべての順序数の集合として表します。
したがって、
$0=\varnothing$
$1=\{0\}=\{\varnothing\}$
$2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$
$3=\{0,1,2\}$
となります。
たとえば
$3=\{0,1,2\}$
なので、
$0\in3,\qquad1\in3,\qquad2\in3$
です。
そして重要なのは、
$\alpha < \beta\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha\in\beta$
とできることです。

2. したがって集合の記法がそのまま使える

順序数 $\alpha$ に対して、
$\beta\in\alpha$
と書けば、「 $\beta$ は $\alpha$ より小さい」という意味になります。
また、順序数自身が集合なので、
$\alpha\subseteq\beta$
という通常の集合の包含関係も使えます。
実際、順序数については
$\alpha\leq\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\subseteq\beta$
が成り立ちます。
例えば
$2=\{0,1\},\qquad 3=\{0,1,2\}$
なので、
$2\subseteq3$
です。

3. 後続順序数も集合として書ける

後続順序数は
$\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$
と定義できます。
例えば、
$3=2\cup\{2\}$
です。
実際、
$2=\{0,1\}$
なので
$2\cup\{2\}=\{0,1,2\}=3.$

4. 極限順序数も集合として書ける

例えば最初の無限順序数 $\omega$ は
$\omega=\{0,1,2,3,\ldots\}$
です。
したがって
$0\in\omega,\quad 1\in\omega,\quad 2\in\omega,\ldots$
となります。
さらに
$\omega+1=\omega\cup\{\omega\}$
ですから、
$\omega+1 = \{0,1,2,\ldots,\omega\}.$
同様に
$\omega+2 = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega+1\}.$

5. ただし「順序数」と「その要素」は区別する

ここが最初は少し紛らわしいところです。
例えば
$3=\{0,1,2\}$
なので、 $3$ は集合です。
しかし、
$3\neq\{3\}.$
また、
$3\in4$
ですが、
$3\subseteq4$
でもあります。
フォン・ノイマンの順序数では、たまたま
$\alpha\in\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\subsetneq\beta$
が成り立つため、順序関係と集合の包含関係が非常にうまく一致します。
要するに、
$\boxed{\text{順序数は集合として扱ってよい。というより、通常は集合として定義する。}}$
ということです。
特に、先ほどご質問されていた整列可能定理との関係では、「任意の集合 $A$ に整列順序を入れ、その整列順序型を順序数として表す」という考え方が重要になります。そこまで進むと、「整列集合 → 順序数」という対応がかなり明確になります。

「順序数全体からある集合への写像」は使っても良いですか？

と入力すると以下の回答が返ってきました。

はい、使えます。ただし、「順序数全体」が集合なのか真の類なのかに注意が必要です。

1. 「すべての順序数」は集合ではない

フォン・ノイマンの定義では、各順序数 $\alpha$ は集合です。
しかし、
$\mathrm{Ord}=\{\alpha\mid \alpha\text{ は順序数}\}$
としたものは、集合ではありません。これは「真の類」です。
したがって、通常の集合論（ZF/ZFC）では、
$f:\mathrm{Ord}\to A$
という「順序数全体から集合 $A$ への写像」を、集合としての写像と考えることはできません。

2. しかし「類関数」としては考えられる

例えば
$f(\alpha)=\alpha$
という対応は、すべての順序数 $\alpha$ に対して定義できます。
これは
$f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}$
という類関数（class function）として扱えます。
同様に、ある集合 $A$ に対して
$F(\alpha)=\text{何らかの }A\text{ の元}$
という規則をすべての順序数 $\alpha$ に対して定めることもできます。

3. 実は「順序数から集合への写像」について重要な事実がある

もし
$f:\mathrm{Ord}\to A$
があって、 $A$ が集合ならば、 $f$ が単射になることはありません。
なぜなら、もし単射ならば
$\mathrm{Ord}\hookrightarrow A$
となり、集合 $A$ の大きさがすべての順序数以上になってしまうからです。
より直接的には、 $f$ の値域
$f[\mathrm{Ord}] = \{f(\alpha)\mid\alpha\in\mathrm{Ord}\}$
は $A$ の部分集合なので集合です。
ところが、 $f$ が単射なら、すべての順序数が集合 $f[\mathrm{Ord}]$ の異なる元に対応することになります。これはブルバキ＝ヴィタリ型の議論ではなく、Hartogs の定理などを使って矛盾を導けます。

4. ただし「ある集合から順序数への写像」は普通に使える

こちらは全く問題ありません。
例えば集合 $A$ と順序数 $\alpha$ に対して
$f:A\to\alpha$
という写像は、通常の集合としての写像です。
また、特定の順序数 $\alpha$ に対して
$f:\alpha\to A$
も問題ありません。
なぜなら、各順序数 $\alpha$ はそれ自体が集合だからです。
例えば
$3=\{0,1,2\}$
なので、
$f:3\to A$
は通常の集合間の写像です。

まとめ

表現扱えるか

$f:\alpha\to A$ （ $\alpha$ は特定の順序数） ○ 集合としての写像

$f:A\to\alpha$ ○ 集合としての写像

$f:\mathrm{Ord}\to A$ △ 類関数としてなら可能

$f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}$ △ 類関数として可能

$\mathrm{Ord}$ 自体を集合として扱う × ZF/ZFCでは不可

特に、「順序数全体から何かを選ぶ」という操作を考えているのであれば、ここは選択公理や整列可能定理とかなり深く関係します。例えば「すべての順序数 $\alpha$ に対して $x_\alpha\in A$ を選ぶ」という表現をどう形式化するか、という問題になります。

表現	扱えるか
$f:\alpha\to A$ （ $\alpha$ は特定の順序数）	○ 集合としての写像
$f:A\to\alpha$	○ 集合としての写像
$f:\mathrm{Ord}\to A$	△ 類関数としてなら可能
$f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}$	△ 類関数として可能
$\mathrm{Ord}$ 自体を集合として扱う	× ZF/ZFCでは不可

ある集合から順序数全体への写像を定義して、その像を考えることはできますか？

と入力すると以下の回答が返ってきました。

はい、できます。しかもこれは集合論で非常によく使われる考え方です。
ただし、先ほどと同様に「順序数全体 $\mathrm{Ord}$ は集合ではない」という点に注意が必要です。

1. 「集合 $A$ から順序数全体」への写像

集合 $A$ に対して
$f:A\to\mathrm{Ord}$
というものを考えることができます。
これは厳密には、通常の「集合から集合への写像」ではなく、
$f:A\longrightarrow\mathrm{Ord}$
という類関数です。
つまり、各 $a\in A$ に対して、一つの順序数 $f(a)$ を対応させる規則です。

2. この場合、像 $f[A]$ は集合になる

ここが重要です。
$f[A]=\{f(a)\mid a\in A\}$
とすると、
$\boxed{f[A]\text{ は集合}}$
になります。
これは $A$ が集合だからです。
例えば
$f:A\to\mathrm{Ord}$
であれば、置換公理（正確には置換公理図式）によって
$\{f(a)\mid a\in A\}$
が集合として存在することが保証されます。
したがって、
$f:A\to\mathrm{Ord}$
という類関数を考えること自体には問題がなく、その像
$f[A]$
もちゃんと集合です。

3. さらに重要な性質

$f[A]$ は順序数の集合です。
したがって、順序数の集合の性質から、
$\sup f[A]$
という順序数を考えることができます。
例えば
$f(a)=\text{ある順序数}$
として $a\in A$ ごとに順序数を割り当てると、
$\sup\{f(a)\mid a\in A\}$
を考えられます。
これは集合論で非常に頻繁に登場します。

4. Hartogs の定理との関係

実は、これは先ほどの話とかなり関係しています。
任意の集合 $A$ に対して、
$h(A)$
という順序数で、
$h(A)\not\hookrightarrow A$
となるものが存在します。これがHartogs 数です。
そして、仮に
$f:A\to\mathrm{Ord}$
という関数を考えると、その像
$f[A]$
は集合なので、
$\alpha=\sup f[A]+1$
という順序数を作れます。
するとすべての $a\in A$ について
$f(a) < \alpha$
となります。
したがって、実は
$\boxed{f:A\to\mathrm{Ord}\quad\Longrightarrow\quad \text{ある順序数 }\alpha\text{ が存在して }f[A]\subseteq\alpha}$
です。
これは非常に重要な事実です。
つまり、集合 $A$ の各元に順序数を割り当てても、その順序数たちは必ずある一つの順序数 $\alpha$ の中に全部収まります。
例えば
$f:\mathbb N\to\mathrm{Ord}$
で
$f(n)=\omega+n$
とすると、
$f[\mathbb N] = \{\omega,\omega+1,\omega+2,\ldots\}$
ですが、これは集合であり、
$f[\mathbb N]\subseteq\omega+\omega$
です。
一方で、もし「順序数全体」を一つの集合として
$\mathrm{Ord}=\{0,1,2,\ldots,\omega,\omega+1,\ldots\}$
のように作ろうとすると、それはできません。順序数全体は真の類だからです。
したがって、
$\boxed{ A\text{ は集合} \quad\Longrightarrow\quad f:A\to\mathrm{Ord}\text{ を考えられ、} \quad f[A]\text{ は集合} }$
という理解で大丈夫です。
そして、この事実は整列可能定理の証明や Hartogs の定理、さらに選択公理と整列可能定理の同値性を理解するときにも非常に重要になります。

整列集合から定まる順序数を、整列集合全体から順序数全体への関数として書いても良いですか？

と入力すると以下の回答が返ってきました。

はい、そのように書いてよいです。ただし、ここでも「整列集合全体」と「順序数全体」が集合ではなく真の類になることに注意が必要です。
整列集合 $(A,\prec)$ に対して、その順序型を
$\operatorname{type}(A,\prec)$
と書くことにします。
すると、
$\operatorname{type}:\mathrm{WO}\longrightarrow\mathrm{Ord}$
という類関数として表現できます。ここで
$\mathrm{WO} = \{(A,\prec)\mid (A,\prec)\text{ は整列集合}\}$
は整列集合全体の類、 $\mathrm{Ord}$ は順序数全体の類です。

ただし「整列集合そのもの」より「整列順序付き集合」

少し厳密に言うと、
$A$
だけではなく、
$(A,\prec)$
を入力にするのが自然です。
なぜなら、同じ集合 $A$ に複数の異なる整列順序を入れられるからです。
例えば
$A=\{a,b\}$
に
$a\prec b$
という順序を入れた場合の順序型は $2$ ですが、
$b\prec a$
という順序を入れても順序型は $2$ です。
2元集合の場合は同じですが、一般には「集合」だけから順序型は決まりません。
したがって、
$\boxed{ \operatorname{type}:\mathrm{WO}\to\mathrm{Ord} }$
とするのが適切です。

さらに重要なのは「同型な整列集合は同じ順序数になる」こと

例えば
$(A,\prec)\cong(B,\triangleleft)$
なら、
$\operatorname{type}(A,\prec) = \operatorname{type}(B,\triangleleft)$
です。
したがって順序型は、整列集合そのものではなく、整列順序付き集合の順序同型類に対して定まる量と見ることもできます。
この観点では、
$[(A,\prec)] \longmapsto \operatorname{type}(A,\prec)$
という写像を考えると、これは実は「整列順序の同型類」から順序数への1対1対応になります。

そして「像」はどうなるか

ここが先ほどの質問とのつながりです。
例えば、ある集合 $X$ の上に可能な整列順序を考え、
$F:\{\text{$X$ 上の整列順序}\}\to\mathrm{Ord}$
を
$F(\prec)=\operatorname{type}(X,\prec)$
と定義できます。
このとき、 $X$ 上の整列順序全体は集合です。したがって、その像
$\{\operatorname{type}(X,\prec)\mid \prec\text{ は }X\text{ 上の整列順序}\}$
も集合になります。
これは特に重要で、選択公理と整列可能定理の議論では、このように「ある集合上の整列順序から得られる順序数全体」を考えることがよくあります。
つまり、
$\boxed{ \text{整列集合全体}\to\text{順序数全体} }$
という表現は、類関数としてなら完全に正当です。
一方、
$\boxed{ \text{ある固定された集合 }X\text{ 上の整列順序全体} \to\mathrm{Ord} }$
なら、こちらは集合から類への関数であり、その像は集合になります。
この区別は、まさに次に Hartogs の定理を「整列順序から定まる順序数の集合」を使って証明するときに非常に有用です。