整列可能定理(5)
『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』に整列可能定理の証明が書かれているので見てみると、前回の証明は『公理的集合論への一歩 無限についてのおはなし (数学セミナーライブラリー)』に書かれていた元の形に戻せば証明できそうです。しかしまだやり方が不明で『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』の証明を書き直してみようと思ったのですがうまくできませんでした。いったん『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』の通りにやってみます。最終的には式の変形で証明できるようにしようと考えています。
順序型
(『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』p.145)
順序型の定義は以下のようになっていました。
各順序集合 に与えられた目じるしを、その順序型といい
と書く。
これは集合であれば「同値類」に相当するものと考えられるので、まず ChatGPT で調べてみました。
集合ではない「ものの集まり」に対して「同値類」という用語を使っても良いですか？
と入力すると以下のような回答となりました。
はい、文脈によっては使えますが、数学的に厳密に言うなら注意が必要です。
「同値類（equivalence class）」は通常、集合上に定義された同値関係に対して使う用語です。
たとえば集合
上の同値関係
に対して、
の同値類を
と定義します。この定義では、明らかに
「ものの集まり」が集合でない場合
たとえば「すべての集合」を考えて、
のような関係を考えることはできます。
しかし「すべての集合」は通常、集合ではなく真の類（proper class）です。そのため、
を通常の意味で「同値類」と呼ぶのは、少し慎重になる必要があります。
この場合は、
- 同値類（equivalence class）
- 同値類に相当する類
- 同値関係による類
- 同値関係で割った類
などと表現することがあります。
特に集合論では、こうしたものを 「類（class）」 として扱うのが自然です。
重要なのは「同値類」という言葉の本質
実は、「同値類」という概念の本質は
- 「ある対象と同値な対象を全部集めたもの」
です。
したがって、対象全体が集合でなくても、同値関係によって「同じもの」をまとめるという考え自体はできます。
ただし、
というものが集合なのか、真の類なのかによって、集合論的な扱いが変わります。
例えば「順序数全体」を考える場合も同様です。
「順序数全体」は真の類ですが、ある条件で順序数を分類して
としたとき、「
と同値な順序数全体」を考えることはできます。ただし、それを通常の意味での集合としての同値類と呼ぶには、その集まりが実際に集合になることを確認する必要があります。
したがって、質問の「集合ではない『ものの集まり』」に対しては、
- 広い意味では「同値類」と呼ぶことはあるが、集合論的に厳密に述べるなら、その集まりが集合なのか真の類なのかを区別したほうがよい
という答えになります。
なお、これは前に話されていた「整列集合から定まる順序数」や「順序数全体」を考えるときに特に重要になる区別です。
「同値類」と考えても良さそうですが、「フォン・ノイマンの順序数」も参考にします。
