証明路開発支援システム(28) - 非専門的シンギュラリティー研究所

整列可能定理(7)

以下の定理 4 によって『新装改版集合への30講数学30講シリーズ』の整列可能定理の元の証明ができそうですが、そのままだと今のところうまくいきません。これについては後で調べます。

順序数

順序数は「同値類のようなもの」と考えれば良いのですが、「フォン・ノイマンの順序数」(は「同値類のようなもの」に含まれるので)と考えても良いです。

定義. 順序数 $α$ 、 $β$ に対して $\langle A \rangle = \alpha$ 、 $\langle B \rangle = \beta$ なる任意の整列集合 $A$ 、 $B$ をとるとき、 $A$ が $B$ に同型な切片 $A(a)$ をもつならば、 $α$ は $β$ よりも大きい、あるいは、 $β$ は $α$ よりも小さいといわれ
$α > β$ または $β < α$
としるされる。

定理 1. いかなる順序数 $α$ 、 $β$ に対しても、
$α = β$ 、 $α < β$ 、 $α > β$
のうちの一つ、しかもただ一つだけが成立する。
[証明]

$\langle A \rangle = \alpha$ 、 $\langle B \rangle = \beta$ となる整列集合 $A$ 、 $B$ をとります。
「整列集合」の章の定理 2 より
$A \simeq B$ 、 $A \simeq B(b)$ 、 $A(a) \simeq B$
のどれか一つだけが成立します。
よって
$α = β$ 、 $α < β$ 、 $α > β$
のどれか一つだけが成立します。

定理 2. $α < β$ 、 $β < γ$ ならば $α < γ$
[証明]

$\langle A \rangle = \alpha$ 、 $\langle B \rangle = \beta$ 、 $\langle C \rangle = \gamma$ となる整列集合 $A$ 、 $B$ 、 $C$ をとります。
$α < β$ 、 $β < γ$ とすると $A \simeq B(b)$ 、 $B \simeq C(c)$
$f: B \to C(c)$ を同型とすると $A \simeq B(b) \simeq C(f(b))$
よって $α < γ$ となります。

順序数 $α$ よりも小さい順序数全体の集合を $W\{α\}$ と書く。定理 1 および 2 によって、これは一つの順序集合である。明らかに、 $α \prec β$ ならば $W\{α\} \subseteq W\{β\}$

定理 3. 整列集合 $A$ の順序数を $α$ とする： $\langle A \rangle = α$ 。いま $A$ の元 $a$ に $\langle A(a) \rangle ( < α )$ なる順序数を対応させるような、 $A$ から $W\{α\}$ への関数 $φ$ を考える。しからば、 $φ$ は同型対応である。
[証明]

$a_1, a_2 \in A$ 、 $a_1 \prec a_2$ とします。
$A(a_1) = A(a_2)(a_1)$ であることから定義より $\langle A(a_1) \rangle < \langle A(a_2) \rangle$
よって $φ(a_1) < φ(a_2)$ となります。
よって $φ$ は順序を保存する単射となります。
が全射であることを証明します。
- $\beta \in W\{\alpha\}$ とします。
- 定義より $\beta = \langle B \rangle$ 、 $B \simeq A(a)$
- $\beta = \langle B \rangle = \langle A(a) \rangle = φ(a)$
- よって $φ$ は全射となります。

$A$ を順序数を元とする(空でない)集合とし、 $α$ を一つの順序数とする。もし $α$ が、次の二つの条件を満足するならば、それは $A$ の上限といわれ
$\sup_{ξ \in A}ξ$
としるされる：
(1) $ξ \in A$ ならば $ξ \le α$
(2) $α$ よりも小さいいかなる $β$ に対しても、 $β < ξ$ なる $A$ の元 $ξ$ がある。

定理 4. 順序数を元とする空でない集合は上限をもつ
[証明]

を順序数を元とする空でない集合とします。
- $A$ に最大元があれば、それが上限となります。
- に最大元がないとき
  - $A$ を添え字の集合とする集合系 $W\{\alpha\} \ (\alpha \in A)$
  - $W = \bigcup_{\alpha \in A} W\{\alpha\}$
  - が整列集合であることを証明します。
    - が全順序集合であることを証明します。
      - $\beta, \gamma \in W$ は $\beta < \gamma$ 、 $\beta = \gamma$ 、 $\beta > \gamma$ のどれかを満たすことを証明します。
        
        $\beta, \gamma \in W\{\alpha\}$ となる $\alpha \in A$ が存在します。
        
        $W\{\alpha\}$ は全順序集合なので $\beta < \gamma$ 、 $\beta = \gamma$ 、 $\beta > \gamma$ のどれかを満たします。
      - $\beta, \gamma, \delta \in W$ は $\beta < \gamma$ かつ $\gamma < \delta$ ならば $\beta < \delta$ であることを証明します。
        
        $\beta, \gamma, \delta \in W\{\alpha\}$ となる $\alpha \in A$ が存在します。
        
        $W\{\alpha\}$ は全順序集合なので $\beta < \gamma$ かつ $\gamma < \delta$ ならば $\beta < \delta$ となります。
    - の空でない部分集合に最小元があることを証明します。
      - $\delta \in S$ をとります。
      - $\delta \in W\{\beta\}$ となる $\beta$ が存在します。
      - $\gamma = \min ( W\{\beta\} \cap S )$
      - $\gamma \ne \delta$ ならば $\gamma < \delta$ であることを証明します。
        
        $\delta \in W\{\beta\}$ ならば $\gamma$ の最小性から $\gamma < \delta$
        
        $\delta \notin W\{\beta\}$ ならば $\gamma < \delta$
      - よって $\gamma$ は $S$ の最小元となります。
  - $W = W\{\beta\}$ ( $W$ に対応する順序数を $\beta$ )とします。
  - がの上限であることを証明します。
    - ならばである( はの上界である)ことを証明します。
      - $\alpha \in A$ とします。
      - $A$ に最大元がないので $\alpha < \alpha'$ となる $\alpha' \in A$ が存在します。
      - $\alpha \in W\{\alpha'\} \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} W\{\alpha\} = W = W\{\beta\}$
      - よって $\alpha \le \beta$ となります。
    - ならばとなるが存在する( ならばはの上界ではない)ことを証明します。
      - $\gamma < \beta$ とします。
      - $\gamma \in W\{\beta\} = W = \bigcup_{\alpha \in A} W\{\alpha\}$
      - $\gamma \in W\{\alpha\}$ となる $\alpha \in A$ が存在します。
      - よって $\gamma < \alpha$ となる $\alpha \in A$ が存在します。

数学基礎論　増補版

作者:新井敏康
東京大学出版会