非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

証明路開発支援システム(29)

証明路開発支援システム

整列可能定理(8)

『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』を見ていきます。

整列可能定理

(『集合論入門 (ちくま学芸文庫)』pp. 194 - 200)

整列集合 $A$ の元 $a$ に対して、 $a$ よりも前にある元の全体から成る $A$ の部分(順序)集合を、 $A$ の $a$ による切片といい $A(a)$ と書く：
$A(a) = \{ x \mid x \prec a, \ x \in A \}$

(I) $A$ の部分集合 $Γ$ は、次の条件を満たすときガンマ列であるといわれる：

(a) $Γ$ は整列集合である。
(b) $Γ$ の元 $a$ は、 $A$ と切片 $Γ(a)$ との差 $A - Γ(a)$ の代表である：
$a = φ(A - Γ(a))$

(II) 二つのガンマ列 $Γ_1$ 、 $Γ_2$ をとれば、 $Γ_1 = Γ_2$ であるか、さもなければ、一方が他方の切片である。

[証明]

ガンマ列は整列集合なので、「整列集合」の章の定理 2 より次のただ一つだけが成立します：
- (1) $Γ_1$ は $Γ_2$ と同型
- (2) $Γ_1$ は $Γ_2$ のある切片と同型
- (3) $Γ_2$ は $Γ_1$ のある切片と同型
まず (2) $Γ_1 \simeq Γ_2(b)$ の場合を考えます。
$f: Γ_1 \to Γ_2(b)$ を同型とします。
$f$ は恒等写像ではないとします。
$a = \min \{ a \in Γ_1 \mid f(a) \ne a \}$ とおきます。
$Γ_1$ がガンマ列であることから $a = φ(A - Γ_1(a))$
$Γ_2$ がガンマ列であることから $f(a) = φ(A - Γ_2(f(a)))$
$a$ の最小性から $Γ_1(a) = Γ_2(f(a))$
よって $f(a) = φ(A - Γ_2(f(a))) = φ(A - Γ_1(a)) = a$ となり矛盾
よって $f$ は恒等写像となります。
よって $Γ_1 = Γ_2(b)$ となり、 $Γ_1$ は $Γ_2$ の切片となります。
(3) の場合も (2) の場合と同様に、 $Γ_2$ は $Γ_1$ の切片となります。
(1) の場合も同様に、 $Γ_1 = Γ_2$ となります。

(III) すべてのガンマ列(から成る集合族)の和集合を $Γ$ とすれば、これを、すべてのガンマ列をその部分順序集合とするような順序集合にすることができる。

[証明]

に順序を定義します。
- $a_1, \ a_2 \in \Gamma$ に対して $a_1 \in \Gamma_1$ となるガンマ列 $\Gamma_1$ 、 $a_2 \in \Gamma_2$ となるガンマ列 $\Gamma_2$ が存在します。
- $\Gamma_3 = \Gamma_1 \cup \Gamma_2$ とおくと (II) より $\Gamma_3$ はガンマ列となります。
- $\Gamma_3$ の順序を $\prec_3$ とします。
- $a_1 \prec a_2 \iff a_1 \prec_3 a_2$ と定義します。
- の定義は、の選び方によらないことを証明します。
  - $a_1, \ a_2 \in \Gamma_4$ となる任意のガンマ列 $\Gamma_4$ をとります。
  - $\Gamma_4$ の順序を $\prec_4$ とします。
  - $a_1, \ a_2 \in \Gamma_5$ となる任意のガンマ列 $\Gamma_5$ をとります。
  - $\Gamma_5$ の順序を $\prec_5$ とします。
  - $\Gamma_6 = \Gamma_4 \cup \Gamma_5$ とおくと (II) より $\Gamma_6$ はガンマ列となります。
  - $\Gamma_6$ の順序を $\prec_6$ とします。
  - $a_1 \prec_4 a_2 \iff a_1 \prec_6 a_2 \iff a_1 \prec_5 a_2$ となります。
  - よって $\prec$ の定義は $\Gamma_3$ の選び方によりません。
  - よって $\prec$ の定義は $\Gamma_1$ 、 $\Gamma_2$ の選び方によりません。
$a_1, a_2 \in \Gamma_i$ となる任意のガンマ列 $\Gamma_i$ の順序を $\prec_i$ とすると $a_1 \prec a_2 \iff a_1 \prec_i a_2$ となります。
は全順序であることを証明します。
- $a_1, a_2 \in \Gamma_1$ となるガンマ列 $\Gamma_1$ の順序を $\prec_1$ とします。
- $\prec_i$ は全順序なので $a_1 \prec_1 a_2$ 、 $a_1 = a_2$ 、 $a_1 \succ_1 a_2$ のどれか一つが成り立ちます。
- よって $a_1 \prec a_2$ 、 $a_1 = a_2$ 、 $a_1 \succ a_2$ のどれか一つが成り立ちます。
- $a_1, a_2, a_3 \in \Gamma_2$ となるガンマ列 $\Gamma_2$ の順序を $\prec_2$ とします。
- $\prec_2$ は全順序なので $a_1 \prec_2 a_2$ 、 $a_2 \prec_2 a_3$ ならば $a_1 \prec_2 a_3$ となります。
- よって $a_1 \prec a_2$ 、 $a_2 \prec a_3$ ならば $a_1 \prec a_3$ となります。

(IV) (III) における順序集合 $Γ$ は整列集合である。

[証明]

$S$ を $Γ$ の空でない部分集合とします。
$S \cap Γ_1 \ne \varnothing$ となるガンマ列 $Γ_1$ が存在します。
$Γ_1$ は整列集合なので $a = \min ( S \cap Γ_1 )$ が存在します。
はの最小元であることを証明します。
- $b \in S$ をとります。
- $b \in Γ_2$ となるガンマ列 $Γ_2$ が存在します。
- $\Gamma_3 = \Gamma_1 \cup \Gamma_2$ とおくと (II) より $\Gamma_3$ はガンマ列となります。
- (II) より $Γ_1 = Γ_3$ または $Γ_1$ は $Γ_3$ の切片となります。
- $a$ は $S \cap Γ_3$ の最小元となります。
- $a \le b$ となります。
- よって $a$ は $S$ の最小元となります。
よって $\Gamma$ は整列集合となります。

(V) $Γ$ はガンマ列である。

[証明]

$a \in Γ$ をとります。
$a \in Γ_1$ となるガンマ列 $Γ_1$ が存在します。
$b \in Γ(a)$ をとります。
$b \in Γ_2$ となるガンマ列 $Γ_2$ が存在します。
$\Gamma_3 = \Gamma_1 \cup \Gamma_2$ とおくと (II) より $\Gamma_3$ はガンマ列となります。
(II) より $Γ_1 = Γ_3$ または $Γ_1$ は $Γ_3$ の切片となります。
$Γ_1(a) = Γ_3(a)$ となります。
$b \in Γ_3(a) = Γ_1(a)$ となります。
$Γ(a) = Γ_1(a)$ となります。
$a = φ(A - Γ_1(a)) = φ(A - Γ(a))$
よって $Γ$ はガンマ列となります。

(VI) $A$ の元はすべて $Γ$ に含まれる。すなわち、 $A = Γ$ である。

[証明]

$A \setminus \Gamma \ne \varnothing$ と仮定します。
$a = \varphi(A \setminus \Gamma)$ とおきます。
$\Gamma \cup \{a\}$ はガンマ列となります。
よって $\Gamma \cup \{a\} \subseteq \Gamma$ となります。
よって $a \in \Gamma$ となり矛盾。
よって $A = \Gamma$ となります。

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