対角関手
(Wikipediaを参照)
対角関手の定義
圏 と
に関して対角関手
は以下のようなものとなります。
- 圏
の対象
に対して
は
の対象となります。これは以下のような関手
となります。
の対象に対しては
の対象
を対応させる。
の射に対しては
の恒等射
を対応させる。
- 圏
の射
に対して
は
の射となります。これは以下のような
から
への自然変換
となります。
の対象
に対して
の射
が対応している必要がある。これは
を対応させるものとする。
の射
に対して
は
の恒等射
、
は
の恒等射
であるため
が成り立ち、この対応は自然変換となる。
対角関手と極限
から関手
への普遍射は
の極限となります。
から関手
への普遍射は
の対象
と
の射
の対
で以下の普遍性を満たすものを言います。
の対象
と
の射
に対して
を満たす射
が一意的に存在する。
が自然変換であることから、
の対象
に対して
の射
が存在して以下の条件を満たします。
の射
に対して以下の図式が可換となります。
すなわち
が可換となります。これは が関手
への錐であることを表しています。同様に
も
への錐となります。上記の普遍性は
の普遍性を表しているので
は極限となります。
対角関手と引き戻し
以前の記事と同様、圏 を対象
、
、
と射
、
と恒等射からなる圏とします。
これに対応する圏 の対象と射を以下の図のものとします。
このとき はこの図の
と
に対する引き戻しとなります。
対角関手 は以下のようなものとなります。
- 圏
の対象
に対して
は
の対象となります。これは以下のような関手
となります。
の対象に対しては
の対象
を対応させる。
の射に対しては
の恒等射
を対応させる。
- 圏
の射
に対して
は
の射となります。これは以下のような
から
への自然変換となります。
の対象
に対して
の射
を対応させる。
対角関手と随伴関手
極限を取る操作は から
への関手となります。この関手
は対角関手
の右随伴関手となります。
の各対象
に対して、
から
への普遍射が存在するとき
を左随伴関手と呼びます。
の各対象
に関して
の対象
と
から
への普遍射
を決めると、関手
で、
と、任意の
の射
について
が成り立つものが一意的に存在します。このとき、
は
の左随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
の各対象
に対して、
から
への普遍射が存在するとき
を右随伴関手と呼びます。
の各対象
に関して
の対象
と
から
への普遍射
を決めると、関手
で、
と、任意の
の射
について
が成り立つものが一意的に存在します。このとき、
は
の右随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
集合と逆像
以下では集合の圏 で考えます。
、
を集合、
とします。
とし、
を包含写像とします。
と
の引き戻しは,逆像
と
から
への包含写像
と
の
への制限
の組となります。
に対して
となるので以下の可換図式が成り立ちます。
集合 と
と
が
を満たすとします(以下の図式は可換)。
このとき を
によって定義することができます。なぜなら
より
となるためです。
が成り立つので は引き戻しとなります。
論理プログラミングの「極限」のところで述べた
は射影的極限と考えることができます。引き戻しも射影的極限の一種と考えることができます。
環と射影的極限
集合に関する議論を環の圏で考えてみます。まず引き戻しと射影的極限の関連性について調べていきます。