対角関手
(Wikipediaを参照)
対角関手の定義
圏 と に関して対角関手 は以下のようなものとなります。
- 圏 の対象 に対して は の対象となります。これは以下のような関手 となります。
- の対象に対しては の対象 を対応させる。
- の射に対しては の恒等射 を対応させる。
- 圏 の射 に対して は の射となります。これは以下のような から への自然変換 となります。
- の対象 に対して の射 が対応している必要がある。これは を対応させるものとする。 の射 に対して は の恒等射 、 は の恒等射 であるため が成り立ち、この対応は自然変換となる。
対角関手と極限
から関手 への普遍射は の極限となります。
から関手 への普遍射は の対象 と の射 の対 で以下の普遍性を満たすものを言います。
- の対象 と の射 に対して を満たす射 が一意的に存在する。
が自然変換であることから、 の対象 に対して の射 が存在して以下の条件を満たします。
- の射 に対して以下の図式が可換となります。
すなわち
が可換となります。これは が関手 への錐であることを表しています。同様に も への錐となります。上記の普遍性は の普遍性を表しているので は極限となります。
対角関手と引き戻し
以前の記事と同様、圏 を対象 、、 と射 、 と恒等射からなる圏とします。
これに対応する圏 の対象と射を以下の図のものとします。
このとき はこの図の と に対する引き戻しとなります。
対角関手 は以下のようなものとなります。
- 圏 の対象 に対して は の対象となります。これは以下のような関手 となります。
- の対象に対しては の対象 を対応させる。
- の射に対しては の恒等射 を対応させる。
- 圏 の射 に対して は の射となります。これは以下のような から への自然変換となります。
- の対象 に対して の射 を対応させる。
対角関手と随伴関手
極限を取る操作は から への関手となります。この関手 は対角関手 の右随伴関手となります。
の各対象 に対して、 から への普遍射が存在するとき を左随伴関手と呼びます。
の各対象 に関して の対象 と から への普遍射 を決めると、関手 で、 と、任意の の射 について が成り立つものが一意的に存在します。このとき、 は の左随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
の各対象 に対して、 から への普遍射が存在するとき を右随伴関手と呼びます。
の各対象 に関して の対象 と から への普遍射 を決めると、関手 で、 と、任意の の射 について が成り立つものが一意的に存在します。このとき、 は の右随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
集合と逆像
以下では集合の圏 で考えます。
、 を集合、 とします。 とし、 を包含写像とします。
と の引き戻しは,逆像 と から への包含写像 と の への制限 の組となります。 に対して となるので以下の可換図式が成り立ちます。
集合 と と が を満たすとします(以下の図式は可換)。
このとき を によって定義することができます。なぜなら より となるためです。
が成り立つので は引き戻しとなります。
論理プログラミングの「極限」のところで述べた
は射影的極限と考えることができます。引き戻しも射影的極限の一種と考えることができます。
環と射影的極限
集合に関する議論を環の圏で考えてみます。まず引き戻しと射影的極限の関連性について調べていきます。