論理計算と随伴関手(8) - エレファント・コンピューティング調査報告

対角関手

対角関手の定義

圏 $\mathbf{J}$ と $\mathbf{C}$ に関して対角関手 $\Delta: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}^\mathbf{J}$ は以下のようなものとなります。

圏の対象に対してはの対象となります。これは以下のような関手となります。
- $\mathbf{J}$ の対象に対しては $\mathbf{C}$ の対象 $A$ を対応させる。
- $\mathbf{J}$ の射に対しては $\mathbf{C}$ の恒等射 $id_A: A \rightarrow A$ を対応させる。
圏の射に対してはの射となります。これは以下のようなからへの自然変換となります。
- $\mathbf{J}$ の対象 $J$ に対して $\mathbf{C}$ の射 $\eta_J: \Delta(A)(J) \rightarrow \Delta(B)(J)$ が対応している必要がある。これは $h: A \rightarrow B$ を対応させるものとする。 $\mathbf{J}$ の射 $l: J \rightarrow K$ に対して $\Delta(A)(l)$ は $\mathbf{C}$ の恒等射 $id_A: A \rightarrow A$ 、 $\Delta(B)(l)$ は $\mathbf{C}$ の恒等射 $id_B: B \rightarrow B$ であるため $\eta_K \circ \Delta(A)(l) = \Delta(B)(l) \circ \eta_J$ が成り立ち、この対応は自然変換となる。

対角関手と極限

$\Delta$ から関手 $F: \mathbf{J} \rightarrow \mathbf{C}$ への普遍射は $F: \mathbf{J} \rightarrow \mathbf{C}$ の極限となります。

$\Delta$ から関手 $F: \mathbf{J} \rightarrow \mathbf{C}$ への普遍射は $\mathbf{C}$ の対象 $P$ と $\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の射 $\varphi: \Delta(P) \rightarrow F$ の対 $(P, \varphi)$ で以下の普遍性を満たすものを言います。

$\mathbf{C}$ の対象 $Q$ と $\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の射 $\psi: \Delta(Q) \rightarrow F$ に対して $\psi = \varphi \circ \Delta(u)$ を満たす射 $u: Q \rightarrow P$ が一意的に存在する。

$\require{AMScd} \begin{CD} \Delta(Q) @> \psi >> F \\ @V \Delta(u) VV @VV id_F V \\ \Delta(P) @>> \varphi > F \end{CD}$

$\varphi: \Delta(P) \rightarrow F$ が自然変換であることから、 $\mathbf{J}$ の対象 $J$ に対して $\mathbf{C}$ の射 $\varphi_J: \Delta(P)(J) \rightarrow F(J)$ が存在して以下の条件を満たします。

$\mathbf{C}$ の射 $l: J \rightarrow K$ に対して以下の図式が可換となります。

$\begin{CD} \Delta(P)(J) @> \Delta(P)(l) >> \Delta(P)(K) \\ @V \varphi_J VV @VV \varphi_K V \\ F(J) @>> F(l) > F(K) \end{CD}$
すなわち
$\begin{CD} P @> id_P >> P \\ @V \varphi_J VV @VV \varphi_K V \\ F(J) @>> F(l) > F(K) \end{CD}$
が可換となります。これは $(P, \varphi)$ が関手 $F: \mathbf{J} \rightarrow \mathbf{C}$ への錐であることを表しています。同様に $(Q, \psi)$ も $F$ への錐となります。上記の普遍性は $(P, \varphi)$ の普遍性を表しているので $(P, \varphi)$ は極限となります。

対角関手と引き戻し

以前の記事と同様、圏 $\mathbf{J}$ を対象 $X'$ 、 $Y'$ 、 $Z'$ と射 $f': X' \rightarrow Z'$ 、 $g': Y' \rightarrow Z'$ と恒等射からなる圏とします。
$\begin{CD} @. Y' \\ @. @VV g' V \\ X' @>> f' > Z' \end{CD}$
これに対応する圏 $\mathbf{C}$ の対象と射を以下の図のものとします。
$\begin{CD} @. Y \\ @. @VV g V \\ X @>> f > Z \end{CD}$
このとき $(P, \varphi)$ はこの図の $f$ と $g$ に対する引き戻しとなります。

対角関手 $\Delta: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}^\mathbf{J}$ は以下のようなものとなります。

圏の対象に対してはの対象となります。これは以下のような関手となります。
- $\mathbf{J}$ の対象に対しては $\mathbf{C}$ の対象 $A$ を対応させる。
- $\mathbf{J}$ の射に対しては $\mathbf{C}$ の恒等射 $id_A: A \rightarrow A$ を対応させる。
圏の射に対してはの射となります。これは以下のようなからへの自然変換となります。
- $\mathbf{J}$ の対象 $J$ に対して $\mathbf{C}$ の射 $h: A \rightarrow B$ を対応させる。

対角関手と随伴関手

極限を取る操作は $\mathbf{C}^\mathbf{J}$ から $\mathbf{C}$ への関手となります。この関手 $\mathbf{lim}$ は対角関手 $\Delta$ の右随伴関手となります。

$\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の各対象 $F$ に対して、 $\Delta$ から $F$ への普遍射が存在するとき $\Delta$ を左随伴関手と呼びます。

$\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の各対象 $F$ に関して $\mathbf{C}$ の対象 $A_F$ と $\Delta$ から $F$ への普遍射 $\varepsilon_F : \Delta(A_F) \rightarrow F$ を決めると、関手 $\mathbf{lim} : \mathbf{C}^\mathbf{J} \rightarrow \mathbf{C}$ で、 $\mathbf{lim} F = A_F$ と、任意の $\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の射 $\zeta : F \rightarrow F'$ について $\varepsilon_{F'} \circ \Delta \mathbf{lim}(\zeta) = \zeta \circ \varepsilon_F$ が成り立つものが一意的に存在します。このとき、 $\Delta$ は $\mathbf{lim}$ の左随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
$\require{AMScd} \begin{CD} \Delta(A_F) @> \Delta \mathbf{lim}(\zeta) >> \Delta(A_{F'}) \\ @V \varepsilon_F VV @VV \varepsilon_{F'} V \\ F @>> \zeta > F' \end{CD}$

$\mathbf{C}$ の各対象 $A$ に対して、 $A$ から $\mathbf{lim}$ への普遍射が存在するとき $\mathbf{lim}$ を右随伴関手と呼びます。

$\mathbf{C}$ の各対象 $A$ に関して $\mathbf{C}^\mathbf{J}$ の対象 $F_A$ と $A$ から $\mathbf{lim}$ への普遍射 $\eta_A : A \rightarrow \mathbf{lim}(F_A)$ を決めると、関手 $\Lambda : \mathbf{C}^\mathbf{J} \leftarrow \mathbf{C}$ で、 $\Delta A = F_A$ と、任意の $\mathbf{C}$ の射 $g : A \rightarrow A'$ について $\mathbf{lim}\Delta(g) \circ \eta_A = \eta_{A'} \circ g$ が成り立つものが一意的に存在します。このとき、 $\mathbf{lim}$ は $\Delta$ の右随伴であると言います。可換図式で書くと以下のようになります。
$\require{AMScd} \begin{CD} A @> g >> A' \\ @V \eta_A VV @VV \eta_{A'} V \\ \mathbf{lim}(F_A) @>> \mathbf{lim}\Delta(g) > \mathbf{lim}(F_{A'}) \end{CD}$

集合と逆像

以下では集合の圏 $\mathbf{Set}$ で考えます。

$X$ 、 $Z$ を集合、 $f: X \rightarrow Z$ とします。 $Y \subseteq Z$ とし、 $g: Y \rightarrow Z$ を包含写像とします。

$f$ と $g$ の引き戻しは，逆像 $P=f^{-1}(Z)$ と $P$ から $X$ への包含写像 $i_P$ と $f$ の $P$ への制限 $f|_P$ の組となります。 $x \in P$ に対して $f(i_P(x)) = g(f|_P(x)) = f(x)$ となるので以下の可換図式が成り立ちます。

$\begin{CD} P @> f|_P >> Y \\ @V i_P VV @VV g V \\ X @>> f > Z \end{CD}$

集合 $Q$ と $q_X: Q \rightarrow X$ と $q_Y: Q \rightarrow Y$ が $f \circ q_X = g \circ q_Y$ を満たすとします(以下の図式は可換)。

$\begin{CD} Q @> q_Y >> Y \\ @V q_X VV @VV g V \\ X @>> f > Z \end{CD}$

このとき $u: Q \rightarrow P$ を $u(y) = q_X(y)$ によって定義することができます。なぜなら $f(u(y)) = f(q_X(y)) = q_Y(x) \in Y$ より $u(y) \in f^{-1}(Y) = P$ となるためです。
$q_x(y) = i_P(q_X(y)) = (i_p \circ u)(y)$
$q_y(y) = g(q_Y(y)) = f(q_X(y)) = f|_P(q_X(y)) = (f|_p \circ u)(y)$
が成り立つので $(P, i_P, f|_P)$ は引き戻しとなります。