逆行列 行列式を使って逆行列を表します。、、 として 、すなわち とします。 を単位行列 とします。ここで は を表すものとします。 の 列目を ( 行目が )とおきます。 は の 列目となります。このとき のように書くことにします。 と から となります。こ…

さらに準備をしていきます。 テンソル積 を体 上の 次元ベクトル空間、 を基底とします。 を基底とする 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を -次テンソル冪と呼び ( 個)と書きます(この定義はWikipediaによる)。 の次元は となります。こ…

逆行列の計算をするための準備をしていきます。 外積 を体 上の 次元ベクトル空間、 を基底とします。 を基底とする 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を -次外冪と呼び と書きます(この定義はWikipediaによる)。 の次元は二項係数 となり…

「声に出して読めなくもない数学」は「現代数学のエレファント」に変更しました。このシリーズでは数学のいろいろな理論を「エレファント化」していく予定です。四色問題のコンピューターを使った証明がエレガントではなくエレファントと言われたらしいです…

前回の議論を「エレファント化」していきます。すなわち、定義から数式の変換で証明できるようにしていきます。 を有限次元ベクトル空間 の有限部分集合とするとき、 の元の個数を 、 で張られた部分空間を と書くことにします。 を と書き、 のとき のかわ…

無限の順序を指定する方法を考えるということがこのブログの1つの目的なのですが、そのためには数学の理論のイメージを持つ必要があると考えています。「声に出して読みたい…」というのが以前ありましたが、数学に置き換えると数式の操作を通じてイメージを…

「論理プログラミング的ポアンカレ予想」は「エレファントなポアンカレ予想」に変更しました。エレガントではないものをエレファントというそうです。「補助線を1本引けば証明できる」というのがエレガントであるのに対して「計算すればできる」というのがエ…

ポアンカレ予想の主張「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」の2次元の場合を考えていきます。「単連結」。「次元」、「閉」の定義をまだ書いていませんが、これは後で定義することにします。「はじめてのトポロジー」という本を参考にします(「…

2次元の場合を見ていく前に、ホモトピーの定義がないとわかりにくいので、定義を書いていきます。ホモトピーのことが書かれた本を持っていなかったので「大学数学の入門5幾何学2 ホモロジー入門」という本を買いました。この本に従って説明をしていきますが…

ポアンカレ予想の説明をWikipediaに従って書いてみます。ポアンカレ予想は1904年にアンリ・ポアンカレによって提出されたもので「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」という主張で、7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題となり…