ポアンカレ予想の説明をWikipediaに従って書いてみます。ポアンカレ予想は1904年にアンリ・ポアンカレによって提出されたもので「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」という主張で、7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題となります。グリゴリー・ペレルマンによって2002年から2003年に発表された論文で解決されたと言われています。
ポアンカレ予想の一般化として「 次元ホモトピー球面は
次元球面同相である」という問題を考えることができます。この問題は
の場合は古典的な事実であり、
の場合はスティーヴン・スメイルによって(1960年)、
の場合はマイケル・フリードマンによって (1982年) 証明されたということです。
ここでは または
の場合の問題を「論理プログラミング的に」説明することを目標とします。3次元球面はイメージしにくいので2次元(上に書いたようにこれはポアンカレ予想ではないのですが)から始めることにします。うまく計算ができるようになれば計算を通して3次元の場合もイメージできると思われますができるかどうかは今のところはわかりません。
これを説明するのにホモトピーという考え方が必要なのですが、ホモトピーの本を持っていないのでまずはトポロジー関係の本を見ていくことにします。
「はじめてのトポロジー」という本を参考にします。「読むトポロジー」という本も内容は同じなのですが、縦書きなので読みにくいです。
ポアンカレ予想については「低次元の幾何からポアンカレ予想へ ~世紀の難問が解決されるまで~」という本を参考にします。ポアンカレ予想関連の本はペレルマンについて書いていてポアンカレ予想についてはあまり書いていないものが多いです。
