集合の計算(3) - エレファント・コンピューティング調査報告

前回の定義では計算が長くなるため、いったん $f: X \to Y$ 、 $x \in X$ 、 $y \in Y$ 、 $U \subseteq Y$ のとき

$f(x) = y \iff x \in f^{-1}(y)$
$f(x) \in U \iff x \in f^{-1}(U)$

が成り立つとして進めていきます。(後で書き直す予定)

$f: X \to Y$ 、 $x \in X$ 、 $A, B \subseteq X$ 、 $y \in Y$ 、 $U, V \subseteq Y$ とします。

(*) $f(A) \subseteq U \iff A \subseteq f^{-1}(U)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} & & f(A) \subseteq U \land x \in A \\ & \implies & f(A) \subseteq U \land f(x) \in f(A) \\ & \implies & f(A) \subseteq U \land f(x) \in U \\ & \implies & x \in f^{-1}(U) \\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} & & A \subseteq f^{-1}(U) \land y \in f(A) \\ & \implies & A \subseteq f^{-1}(U) \land \exists x ( y = f(x) \land x \in A ) \\ & \implies & \exists x ( y = f(x) \land x \in f^{-1}(U) ) \\ & \implies & \exists x ( y = f(x) \land f(x) \in U ) \\ & \implies & y \in U \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(9) $A \subseteq f^{-1}(f(A))$

[証明] $f(A) \subseteq f(A)$ と(*) $(\Rightarrow)$ から成り立ちます。[証明終わり]

(10) $f(f^{-1}(U)) \subseteq U$

[証明] $f^{-1}(U) \subseteq f^{-1}(U)$ と(*) $(\Leftarrow)$ から成り立ちます。[証明終わり]

(11) $f(A) \setminus f(B) \subseteq f(A \setminus B)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} & & y \in f(A) \setminus f(B) \\ & \iff & y \in f(A) \land y \notin f(B) \\ & \iff & \exists a ( y = f(a) \land a \in A ) \land \neg \exists x ( y = f(x) \land x \in B ) \\ & \iff & \exists a ( y = f(a) \land a \in A \land a \notin B ) \\ & \iff & \exists a ( y = f(a) \land a \in A \setminus B ) \\ & \iff & y \in f(A \setminus B) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(12) $f^{-1}(U) \setminus f^{-1}(V) = f^{-1}(U \setminus V)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} & & x \in f^{-1}(U) \setminus f^{-1}(V) \\ & \iff & x \in f^{-1}(U) \land x \notin f^{-1}(V) \\ & \iff & f(x) \in U \land f(x) \notin V \\ & \iff & f(x) \in U \setminus V \\ & \iff & x \in f^{-1}(U \setminus V) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]