エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

エレファントな群とリー代数(11)

一般マグマの多項式の単一化アルゴリズム(3) 前回の議論(「wikipedia:ユニフィケーション」の「一階の項」を参照)を『計算論理に基づく推論ソフトウェア論』の議論のように2段階に分けます。なお、前回の記事でも単一化アルゴリズムの中で項を変化させる場合…

中間報告(7)

このブログは、論理プログラミングを無限に実行する場合、実行順序を指定する機能を追加することを目的としています。現在は「無限の項書き換え」のような方法で記述する方法を検討しています。 エレファントな群とリー代数 項書き換えと同様の方法で群やリ…

エレファントな群とリー代数(10)

一般マグマの多項式の単一化アルゴリズム(2) この項目の内容は「一階の項」の理論と内容は同じものになると思われます。書き方を変えることで極限や普遍性について考えるときに多項式の考え方が使えると思うのですが、今のところどうなるかわかりません。前…

エレファントな群とリー代数(9)

一般マグマの多項式の単一化 環(および自然数の演算)(日本語が正しく表示されない可能性がありますがいつか書き直します)の使い方を説明すると書きましたが、ここで行っている「規則の合成」を説明するには単一化(ユニフィケーション)について説明する必要が…

エレファントな群とリー代数(8)

環の性質(2) 任意の 項演算を任意の個数もつ代数的構造に対しても「±マグマ」と同様の議論が成り立ちます。これを「一般マグマ」と呼ぶことにします。「一般マグマ」によって環の性質を証明することができます。前回の続きを書いていきます。\begin{cases} \…

エレファントな群とリー代数(7)

±マグマ 集合 が二項演算 と単項演算 を持つとき を±マグマと呼ぶことにします。「単項・二項マグマ」と呼んでいましたが長いのでこう呼ぶことにします。ここでは、マグマに関する議論に演算を付け加えたものをまとめて説明していきます。この議論に関する一…

エレファントな群とリー代数(6)

環の性質 「群の性質」で考えた「単項・二項マグマ」に二項演算を付け加えたものを考えます。これをここでは「単項・二項・二項マグマ」と呼ぶことにします。「単項・二項・二項マグマ」について「代入」を考えることで「群の性質」と同様に環で成り立つ関係…

エレファントな群とリー代数(5)

群の性質(2) 今回は群の性質の続きを調べていきます。 前回の結果 「エレファントな群とリー代数(3)」では書き換え規則の集合 \begin{cases} \rho_{1} & = & ( & x & \mapsto & e x & \to & x & ) \\ \rho_{2} & = & ( & x & \mapsto & x & \to & e x & ) \\…

エレファントな群とリー代数(4)

単位元をもつマグマの準同型(1) を単位元 をもつマグマ、 を単位元 をもつマグマ、 をマグマの準同型とします。このとき ならば が成り立ちます。これを「マグマの左単位元・右単位元」と同様の方法で証明することができます。項を に属する項と に属する項…

エレファントな群とリー代数(3)

群の性質 本[1][2]の中で「群の完備化」として、群の定義の一部から出発して完備な書き換え規則を得る手順が書かれています。こちらの私のサイト http://www2.biglobe.ne.jp/~optimist/algebra/word_2.html でもやっているのですが、本では有限回で終了して…

エレファントな群とリー代数(2)

モノイドの左逆元・右逆元 をモノイド( は単位元)とします。 (L) に対して、 であるような を の左逆元と呼びます。 (R) に対して、 であるような を の右逆元と呼びます。 が左逆元 と右逆元 を持つならば、 となります。 [証明] (L)より (R)より よって結…

エレファントな群とリー代数(1)

ここでは「項書き換え」のような方法で群、モノイド、半環やリー代数に関する証明を行ってみます。「項書き換え」については[1][2]の本を持っていたのですが見当たらないので、ウェブに同様の記事があったのでそれを参考にします。本来の「項書き換え」では…

代数的構造による圏論(12)

随伴(3) 随伴の三角等式による定義 随伴の定義についても本に従って見ていきます。 随伴の三角等式による定義 定義 8.1 圏 、 間の関手 、 について、自然変換 、 が存在してこれらが三角等式を満たすとき、すなわち \begin{CD} F @> 1_F >> F \\ @V Fη VV @…

代数的構造による圏論(11)

随伴(2) 積関手と冪関手 自由マグマと自由モノイドの関係を使って、随伴(の一部)を説明することができると思ったのですが、まだできていないし、随伴の全体を説明することは難しいと思われるので、また「圏論の道案内 ~矢印でえがく数学の世界~」の「第8章…

代数的構造による圏論(10)

随伴(1) 自由マグマ まず基本になると思われる自由マグマから始めます。 マグマ 集合 が二項演算 を持つとき をマグマと呼びます。単に と表すこともあります。 部分マグマ をマグマとします。 に対して と書くことにします。 が を満たすとき は の への制…

代数的構造による圏論(9)

トポス(1) この段階で数学的帰納法を使うことによって図式を使わずに説明することができるようになったと思うのですが、簡単にはいかないのでトポスについてもう少し調べてみたいと思います。[4]、[5]、[6]、[7]の本を持っていたので少し読んでみようと思い…

中間報告(6)

このブログは、論理プログラミングに実行順序を指定する機能を追加するため、現在は主に数学的帰納法や可換モノイドについてプログラミング言語で記述する方法を調査しています。 前回の中間報告以降更新したもの 代数的構造による圏論 ← 斜めの線を使わない…

代数的構造による圏論(8)

第5章まで読めばろいろできると思われるのですが、数学的帰納法について考えるには第7章まで読んだほうが良いようなのでさらに引用していきます。そこまでは少し図式を描いていきます。 第6章 冪:プログラムの本質 ①冪 定義 6.1 (冪) 積を持つ圏 の対象 に…

代数的構造による圏論(7)

⑦極限,余極限の定義 続いて極限と積などの関係を見ていきます。 積・余積 圏 を対象が の二つで、射が恒等射だけの圏とします。 と書くことにします。 型の図式(圏 から圏 への関手) に対する極限( の終対象)が存在するとします。、 とおきます。「 を圏 (…

代数的構造による圏論(6)

第5章 普遍性 最初の方は定義を引用するだけとします。 ①終対象と始対象 定義 5.1 圏 の対象 が、 の任意の対象 に対して から への射がただ一つ存在するとき、 を の終対象と呼びます。この一意的な射を と書きます。 の反対圏 の終対象を の始対象と呼びま…

代数的構造による圏論(5)

自然変換については良い書き方が見つからないので、ほぼ「圏論の道案内 ~矢印でえがく数学の世界~」に従って書いていきます。 第4章 自然変換 ④自然変換の例2:hom 関手間の自然変換 まず「第3章 関手 ②関手の例1:順序を保つ写像,反変関手・双対圏」から…

代数的構造による圏論(4)

このブログでは、通常の論理プログラミングでは無限に動くプログラムを書くことができないので「極限」の考え方でなんとかできないか、ということでやっています。ある種の射影的極限、帰納的極限は外積の定義を書いたところで書いたように、構成的に定義す…

代数的構造による圏論(3)

「第4章 自然変換」を見ていきます。コンマ圏のところまでは、どうやれば良いのかわからないのでそのままの書き方で書いていくことにします。 第4章 自然変換 ①自然変換の定義1 、 を圏 から への関手とします。 このとき、 から への 自然変換 は の各対象 …

代数的構造による圏論(2)

「圏論の道案内」では自然変換を中心に説明されているということなので、「第4章 自然変換」のあたりから読んでいこうと考えています。その前の「第3章 関手」ではいろいろな例が書かれていますが、これは自然変換に関連したものと思われます。その前に「前…

代数的構造による圏論(1)

このブログでは普通の圏論の本に載っているような図式を書くことができないらしいので、「斜めの線を使わない圏論」では、自由生成モノイド、自由生成可換モノイド、自由生成半環などを構成するような方法で、極限、随伴などを説明することができないか検討…

エレファントな整数論(23)

写像の分類の説明 を集合、 を写像とします。、、 を前回と同じものとします。 をとり とおきます。前回の説明を続けていきます。 に対して とおきます。以下の条件を考えます。条件 から を追加します。 任意の に対して 任意の に対して 上で は単射 上で …

エレファントな整数論(22)

写像の性質の続き 前回の議論では足りないところがあるので追加していきます。証明はまとめることができると思うのですが、できませんでした。集合論の中の自然数論のような話題だと思うので、まとめて書かれているところがあると思うのですが、見つけること…

エレファントな整数論(21)

「エレファントな整数論(3)」で書いたような内容ですが、また書き直していきます。 全射・単射・有限集合 を集合、 を写像とします。任意の に対して ならば であるとき、 を単射と呼びます。任意の に対して となる が存在するとき、 を全射と呼びます。 が…

エレファントな整数論(20)

「不等式の方法」で証明を書いていこうと思いますが、その前に必要なことを「集合と位相」に従って書いておきます。 集合と写像 、、 とします。、 を以下のように定義します。 以下のことが成り立ちます。(「集合と位相」定理5.2 を参照) (1-1) [証明] [証…

中間報告(5)

このブログは、論理プログラミングに実行順序を指定する機能を追加してサーバーで動作するような無限に動作するプログラムを記述することを一つの目標としています。この方法についていろいろな案を考えていきたいと思います。 前回の中間報告以降更新したも…