エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

現代数学のエレファント(7)

逆行列行列式の関係

記法

 K を体、 V K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots, e_n\} V の基底とします。 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, V) g_i(a) = ae_i とおくと、 \mathcal{L}(V, V) の元は  \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。

 a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal{L}(K, V) に対して  f^*(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathcal{L}(V, V)

  •  f^*(a_1, a_2, \cdots, a_n) = a_1 f_1 + a_2 f_2 + \cdots + a_n f_n

とします。

 b_1, b_2, \cdots, b_n \in \mathcal{L}(V, K) に対して  g^*(b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathcal{L}(V, V)

  •  g^*(b_1, b_2, \cdots, b_n) = g_1 b_1 + g_2 b_2 + \cdots + g_n b_n

とします。

  •  f^*(a_1, a_2, \cdots, a_k) = f^*(a_1, a_2, \cdots, a_k, g_{k+1}, \cdots, g_n)
  •  g^*(b_1, b_2, \cdots, b_k) = g^*(b_1, b_2, \cdots, b_k, f_{k+1}, \cdots, f_n)

と書くことにします。

記法については今後検討します。

行列式の成分による表示方法

 X = \{1, 2, \cdots, n\} の置換( X から  X への全単射)全体の集合を  S_n = \operatorname{Sym}(X) とおきます。 s \in S_n に対して
 \displaystyle r_s = \sum_{i=1}^{n} g_i f_{s(i)} = g^*(f_{s(1)}, f_{s(2)}, \cdots, f_{s(n)})
 \displaystyle c_s = \sum_{i=1}^{n} g_{s(i)} f_i = f^*(g_{s(1)}, g_{s(2)}, \cdots, g_{s(n)})
とおきます。 \displaystyle e= \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} g_i f_j とおくと
 \displaystyle (\det r_s) e = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_k \sum_{i=1}^{n} g_i f_{s(i)} = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_k g^*(f_{s(1)}, f_{s(2)}, \cdots, f_{s(n)}) = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_{s(k)}
 \displaystyle (\det c_s) e = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_k \sum_{i=1}^{n} g_{s(i)} f_i = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_k f^*(g_{s(1)}, g_{s(2)}, \cdots, g_{s(n)}) = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_{s^{-1}(k)}
より
 \displaystyle (\det c_s) e = \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_{s^{-1}(k)} = \bigwedge_{l=1}^{n} g_l f_{s^{-1}(l) }= \bigwedge_{k=1}^{n} g_k f_{s(k)} = (\det r_s) e
となります。

 \operatorname{sgn} s = \det r_s = \det c_s とおきます。 \displaystyle \alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j に対して
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
(\det \alpha) e & = & \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \\
 & = & \left(\sum_{j=1}^{n} a_{1j} g_1 f_j \right) \wedge \cdots \wedge \left(\sum_{j=1}^{n} a_{nj} g_n f_j \right) \\
 & = & \sum_{j_1,\cdots, j_n=1}^{n} a_{1j_1} \cdots a_{nj_n} ( g_1 f_{j_1} \wedge \cdots \wedge g_n f_{j_n} ) \\
 & = & \sum_{\{j_1,\cdots, j_n\}=\{1,\cdots,n\}} a_{1j_1} \cdots a_{nj_n} ( g_1 f_{j_1} \wedge \cdots \wedge g_n f_{j_n} ) \\
 & = & \sum_{s \in S_n} a_{1,s(1)} \cdots a_{n,s(n)} ( g_1 f_{s(1)} \wedge \cdots \wedge g_n f_{s(n)} ) \\
 & = & \sum_{s \in S_n} (\operatorname{sgn} s) a_{1,s(1)} \cdots a_{n,s(n)} e \\
\end{eqnarray*}
より  \displaystyle \det \alpha = \sum_{s \in S_n} (\operatorname{sgn} s) a_{1,s(1)} \cdots a_{n,s(n)} が成り立ちます。

掃き出し法で行列式を計算する方法(1)

 \displaystyle \alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{n,i,j} g_i f_j \displaystyle \alpha_k = \left( \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a_{k, i, j} g_i f_j \right) + \left( \sum_{i=k+1}^{n} \sum_{j=1}^{n} g_i f_j \right) とおくと  \alpha = \alpha_n となります。

 \psi'_{k} = g^*(f_1, \cdots, f_{k-1}, \cfrac{1}{a_{k,k,k}} f_k)
 \psi''_{k} = g^*(f_1 - a_{k,1,k} f_k, \cdots, f_{k-1} - a_{k,k-1,k} f_k, f_k)
 \psi_k = \psi''_{k} \psi'_{k}
 \sigma_k = g^*(f_1, \cdots, f_{k-1}, f_k - (\cfrac{a_{k,k,1}}{a_{k,k,k}} f_1 + \cdots + \cfrac{a_{k,k,k-1}}{a_{k,k,k}} f_{k-1}))
とおき、 a_{k, i, j} については  a_{k-1, i, j} = \cfrac{a_{k, i, j} a_{k, k, k} - a_{k, i, k} a_{k, k, j}}{a_{k, k, k}} を満たすとすると、 \alpha_{k-1} = \psi_k \alpha_k となります。 \alpha_{k-1} \alpha_{k} に対して「順序が決められた掃き出し法」で「前進消去」を1回だけ行ったものとなります。 \sigma_k は「後退代入」を1回だけ行う操作となります。連立一次方程式に関する掃き出し法では変数の順序や式の順序は決まっていないのですが、ここでは行列に関する掃き出し法のように順序が決まっているものとするので「順序が決められた掃き出し法」ということにします。

 \varphi_{n} = \sigma_n \cdots \sigma_1 \psi_1 \cdots \psi_n とおくと上記の掃き出し法により  \varphi_{n} \alpha = 1_V となります。 1_V V の恒等写像とします。

 \det \psi'_{k} = \det g^*(f_1, \cdots, f_{k-1}, \cfrac{1}{a_{k,k,k}} f_k) = \cfrac{1}{a_{k,k,k}} \det \psi''_{k} = \det g^*(f_1 - a_{k,1,k} f_k, \cdots, f_{k-1} - a_{k,k-1,k} f_k, f_k) = 1 より  \det \psi_k = \cfrac{1}{a_{k,k,k}} \det \sigma_k = \det g^*(f_1, \cdots, f_{k-1}, f_k - (\cfrac{a_{k,k,1}}{a_{k,k,k}} f_1 + \cdots + \cfrac{a_{k,k,k-1}}{a_{k.k.k}} f_{k-1})) = 1 となります。よって
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
\det \varphi_{n} & = & (\det \sigma_n) \cdots (\det \sigma_1) (\det \psi_1) \cdots (\det \psi_n) \\
 & = & \cfrac{1}{a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n}}
\end{eqnarray*}
となって  a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n} \ne 0 ならば  \det \alpha = a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n} となります。

掃き出し法で行列式を計算する方法(2)

 a_{k,k,k} で割らずに行列式を求めることを考えます。 \bar{\psi}'_{k} = a_{k,k,k} \psi'_{k} \bar{\psi}_{k} = \psi''_{k} \bar{\psi}'_{k} \bar{\sigma}_{k} = a_{k,k,k} \sigma_{k} とおきます。 \det \bar{\psi}_{k} = a_{k,k,k}^{n-1} \det \bar{\sigma}_{k} = a_{k,k,k}^n となります。

 \bar{\varphi}_{n} = \bar{\sigma}_n \cdots \bar{\sigma}_1 \bar{\psi}_1 \cdots \bar{\psi}_n とおくと
 \bar{\varphi}_{n} \alpha = (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^2 \varphi_{n} \alpha = (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^2 1_V
より  (\det \bar{\varphi}_{n}) (\det \alpha) = (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^{2n} が成り立ちます。
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
\det \bar{\varphi}_{n} & = & (\det \bar{\sigma}_n) \cdots (\det \bar{\sigma}_1) (\det \bar{\psi}_1) \cdots (\det \bar{\psi}_n) \\
 & = & (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^{2n-1} \\
\end{eqnarray*}
より
 (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^{2n-1} (\det \alpha) = (\det \bar{\varphi}_{n}) (\det \alpha) = (a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n})^{2n}
が成り立ちます。

ここで  a_{11}, \cdots, a_{1n}, \cdots, a_{n1}, \cdots, a_{nn} を変数(不定元)と考えて  K(a_{11}, \cdots, a_{1n}, \cdots, a_{n1}, \cdots, a_{nn}) で考えると、行列式は成分の有理式で表すことができるので  \det \alpha = a_{1,1,1} a_{2,2,2} \cdots a_{n,n,n} が成り立ちます。

逆行列行列式で表す方法

 \displaystyle \alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \displaystyle \beta = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{ij} g_i f_j \alpha \beta = 1_V とします。

 a_k = \alpha g_k とおくと  \displaystyle a_k = \alpha g_k = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j g_k = \sum_{i=1}^{n} a_{ik} g_i f_k g_k = \sum_{i=1}^{n} a_{ik} g_i となって  \alpha = f^*(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) となります。

 b_k = \beta g_k とおくと  \beta = f^*(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) となります。

 \begin{eqnarray*}
 & & \alpha f^*(g_{1}, \cdots, g_{k-1}, b_j, g_{k+1}, \cdots, g_{n}) \\
 & = & f^*(a_{1}, \cdots, a_{k-1}, g_j, a_{k+1}, \cdots, a_{n})
\end{eqnarray*}
となります。この行列式を考えると
 \begin{eqnarray*}
 & & (\det \alpha) (\det f^*(g_{1}, \cdots, g_{k-1}, b_j, g_{k+1}, \cdots, g_{n})) \\
 & = & \det f^*(a_{1}, \cdots, a_{k-1}, g_j, a_{k+1}, \cdots, a_{n})
\end{eqnarray*}
となって  \det f^*(g_{1}, \cdots, g_{k-1}, b_j, g_{k+1}, \cdots, g_{n}) = b_{kj} なので  \det \alpha \ne 0 のとき
 b_{ij} = \cfrac{1}{\det \alpha} \det f^*(a_{1}, \cdots, a_{i-1}, g_j, a_{i+1}, \cdots, a_{n})
となります。

現代数学のエレファント(6)

ガウスの消去法

Wikipediaによると、ガウスの消去法(または掃き出し法)は連立一次方程式の解法に使われるものですが

でも使われます。

この記事は行列式や行列のランクを定義から計算できるようにすることが目的なのですが、行列式は定義から直接計算でき、行列式と行列のランクは行列式で表すことができるので、これらも定義から直接計算できると言えます。しかし定義と計算方法の関連がわかりにくいため、ここでは掃き出し法との関連を調べて掃き出し法の方法で計算する方法を考えます。

連立一次方程式の解法(1)

 K を体とします。連立一次方程式
 \begin{eqnarray*}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1,n-1} x_{n-1} + a_{1n} x_n & = & y_1 \\ 
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2,n-1} x_{n-1} + a_{2n} x_n & = & y_2 \\ 
 \vdots \hspace{4em} & & \\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{m,n-1} x_{n-1} + a_{mn} x_n & = & y_m \\ 
\end{eqnarray*}
 a_{ij} = 0 である  a_{ij} を追加して  m=n となるようにしても連立一次方程式としては同じものを表しているので、まず  m=n の場合を考えます。

(1-1) 第  n 式の両辺をを  a_{nn} で割った
 \cfrac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 + \cdots + \cfrac{a_{n,n-1}}{a_{nn}} x_{n-1} + x_n = \cfrac{1}{a_{nn}} y_n
を考えます。
 a_{nn} = 0 のときは割ることはできないのですが、逆行列行列式で書けるので、行列式 0 でなければこのまま進めることができます( a_{nn} を変数と考えて  K に変数  a_{nn} を追加した体(有理関数体  K(a_{nn}))を考えれば良い)。本来の掃き出し法では係数は実際の数値で行うので、係数が  0 ではない変数を見つけなければなりません。これについては後で考えます。

(1-2) 第  i 式( i= 1, \cdots, n-1)から第  n 式の  a_{in} 倍を引くと
 \begin{eqnarray*}
(a_{11} - \cfrac{a_{n1}a_{1n}}{a_{nn}}) x_1 + \cdots + (a_{1,n-1} - \cfrac{a_{n,n-1}a_{1n}}{a_{nn}}) x_{n-1} & = & y_1 - \cfrac{a_{1n}}{a_{nn}} y_n \\ 
(a_{21} - \cfrac{a_{n1}a_{2n}}{a_{nn}}) x_1 + \cdots + (a_{2,n-1} - \cfrac{a_{n,n-1}a_{2n}}{a_{nn}}) x_{n-1} & = & y_2 - \cfrac{a_{2n}}{a_{nn}} y_n \\ 
 \vdots \hspace{4em} & & \\
(a_{n-1,1} - \cfrac{a_{n1}a_{n-1,n}}{a_{nn}}) x_1 + \cdots + (a_{n-1,n-1} - \cfrac{a_{n,n-1}a_{n-1,n}}{a_{nn}}) x_{n-1} & = & y_{n-1} - \cfrac{a_{n-1,n}}{a_{nn}} y_n \\ 
\cfrac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 + \cdots + \cfrac{a_{n,n-1}}{a_{nn}} x_{n-1} + x_n & = & \cfrac{1}{a_{nn}} y_n
\end{eqnarray*}
となります。

 1 式から第  n-1 式までは  n-1 個の変数に関する  n-1 個の連立一次方程式となるので、 n に関する帰納法によりこの解  x_1, \cdots, x_{n-1} が決まったとすると、
(1-3)  x_n = \cfrac{1}{a_{nn}} y_n - (\cfrac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 + \cdots + \cfrac{a_{n,n-1}}{a_{nn}} x_{n-1})
によって  x_n が決まります。

よって  n に関する帰納法により  x_1, \cdots, x_n が決まります。

連立一次方程式の解法(2)

上記の議論を書き直します。

 K を体、 V K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots, e_n\} V の基底、 W K 上の  m 次元ベクトル空間、 \{e'_1, e'_2, \cdots , e'_m\} W の基底とします。

 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, W) g_i(a) = ae'_i とおくと、 \mathcal{L}(V, W) の元は  \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。ここで  \delta_{ij}
 \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \ne j \ のとき) \\ 1 & (i = j \ のとき) \end{cases}
を表すものとします。 \mathcal{L}(V^k, W^k) のときもこの記法を使うことにします。

 a_1, a_2, \cdots, a_n \in K に対して  f^*(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in V^* f^*(a_1, a_2, \cdots, a_n) = a_1 f_1 + a_2 f_2 + \cdots + a_n f_n とします。 b_1, b_2, \cdots, b_m \in \mathcal{L}(K, V) に対して  g^*(b_1, b_2, \cdots, b_m) \in \mathcal{L}(V, W) g^*(b_1, b_2, \cdots, b_m) = b_1 g_1 + b_2 g_2 + \cdots + b_m g_m とします。 \mathcal{L}(V^k, W^k) のときもこの記法を使うことにします。記法については後で検討しますがとりあえず今はこの記法でやっていきます。

まず  n = m V = W の場合を考えます。

 x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n y = y_1 e_1 + \cdots + y_n e_n に関する連立一次方程式は  \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j x = y と表すことができます。

 \psi_n = g^*(f_1 - a_{1n} f_n, \cdots, f_{n-1} - a_{n-1,n} f_n, f_n) g^*(f_1, \cdots, f_{n-1}, \cfrac{1}{a_{nn}} f_n)
 \sigma_n = g^*(f_1, \cdots, f_{n-1}, f_n - (\cfrac{a_{n1}}{a_{nn}} f_1 + \cdots + \cfrac{a_{n,n-1}}{a_{nn}} f_{n-1}))
とおきます。 \psi_n は (1-1)、(1-2) を表したもの、 \sigma_n は (1-3) を表したものとなります。

このとき帰納法の仮定により
 \displaystyle \varphi_{n-1} \psi_n \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = g^*(f_1, \cdots, f_{n-1}, h_n)
 \displaystyle h_n = g_n f_n \psi_n \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j
を満たす  \varphi_{n-1} が存在するとします。

 \varphi_{n} = \sigma_n \varphi_{n-1} \psi_n とおくと  \displaystyle \varphi_{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = 1_V となります( 1_V V の恒等写像)。よって
 \begin{eqnarray*}
x & = & \varphi_{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j x \\
 & = & \sigma_n \varphi_{n-1} \psi_n \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j x \\
 & = & \sigma_n \varphi_{n-1} \psi_n y \\
 & = & \varphi_{n} y \\
\end{eqnarray*}
となります。

逆行列

逆行列の求め方は連立一次方程式の解法と同様となります。 1_V V の恒等写像とします。 \beta: V \to V線型写像
 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \beta = 1_V
を満たすものとします。 \varphi_{n} を上と同様のものとすると
 \displaystyle \beta = \varphi_{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \beta = \varphi_{n} 1_V = \varphi_{n}
となります。 \varphi_{n} を行列で表したものは行列  (a_{ij})逆行列となります。

行列式

 \displaystyle \alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j とすると行列式の定義より
 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i \alpha = (\det \alpha ) \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i
となります。

 \varphi_{n} を上と同様のものとすると行列式の性質から
 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i = \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i \varphi_n \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = (\det \alpha ) (\det \varphi_n) \bigwedge_{i=1}^{n} g_i f_i
となって  \det \alpha = \cfrac{1}{\det \varphi_n} となります。

 \det g^*(f_1, \cdots, f_{n-1}, \cfrac{1}{a_{nn}} f_n) = \cfrac{1}{a_{nn}}
 \det g^*(f_1 - a_{1n} f_n, \cdots, f_{n-1} - a_{n-1,n} f_n, f_n) = 1
より  \det \psi_n = \cfrac{1}{a_{nn}}
 \det g^*(f_1, \cdots, f_{n-1}, f_n - (\cfrac{a_{n1}}{a_{nn}} f_1 + \cdots + \cfrac{a_{n,n-1}}{a_{nn}} f_{n-1})) = 1
より  \det \sigma_n = 1 となります。

 \varphi_{n} = \sigma_n \cdots \sigma_1 \psi_1 \cdots \psi_n なので
 \det \varphi_{n} = (\det \sigma_n) \cdots (\det \sigma_1) (\det \psi_1) \cdots (\det \psi_n) = (\det \psi_1) \cdots (\det \psi_n)
となります。 \alpha _k= \psi_{k+1} \psi_{k+2} \cdots \psi_{n} \alpha とおいて  \displaystyle \alpha_k = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} a(k, i, j) g_i f_j とすると帰納的に  a(k, i, j)
 a(k-1, i, j) = \cfrac{a(k, i, j) a(k, k, k) - a(k, i, k) a(k, k, j)}{a(k, k, k)}
によって決めることができます。
 \det \alpha = a(1,1,1) a(2,2,2) \cdots a(n,n,n)
となります。

掃き出し法の多重線型性・交代性

 d(\alpha) = a(1,1,1) a(2,2,2) \cdots a(n,n,n) と定義すると
 a(k-1, i, j) = \cfrac{a(k, i, j) a(k, k, k) - a(k, i, k) a(k, k, j)}{a(k, k, k)}
より  a(k, i, k) = b(i) + c(i) とすると
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
a(k-1, i, j) & = & \cfrac{a(k, i, j) ( b(k) + c(k) ) - ( b(i) + c(i) ) a(k, k, j)}{ a(k, k, k) } \\
 & = & \cfrac{a(k, i, j) b(k) - b(i) a(k, k, j)}{ a(k, k, k) } + \cfrac{a(k, i, j) c(k) - c(i) a(k, k, j)}{ a(k, k, k) } \\
\end{eqnarray*}
 a(k, i, k) = cb(i) とすると
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
a(k-1, i, j) & = & \cfrac{a(k, i, j) cb(k) - cb(i) a(k, k, j)}{ cb(k) } \\
 & = & \cfrac{a(k, i, j) b(k) - b(i) a(k, k, j)}{ b(k) }
\end{eqnarray*}
 a(k, i, k) = a(k, i, l) とすると
 \hspace{1em} \begin{eqnarray*}
a(k-1, i, l) & = & \cfrac{a(k, i, l) a(k, k, k) - a(k, i, k) a(k, k, l)}{a(k, k, k)} \\
 & = & \cfrac{a(k, i, k) a(k, k, k) - a(k, i, k) a(k, k, k)}{a(k, k, k)} = 0
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の列で成り立つので  d

  • (多重線型性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_n, v, w \in \mathcal{L}(K, V) に対して  d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, v + w, u_{k+1}, \cdots, u_n))  = d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n)) + d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, w, u_{k+1}, \cdots, u_n))
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_n, v \in \mathcal{L}(K, V)、任意の  a \in K に対して  d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, a v, u_{k+1}, \cdots, u_n))  = a d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n))
  • (交代性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, u_{l+1}, \cdots, u_n, v \in \mathcal{L}(K, V) k \ne l に対して  d(g^*(u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, v,  u_{l+1}, \cdots, u_n)) = 0

を満たします。

よって  d(\alpha) = (\det \alpha) d(1) = \det \alpha となります。また、列に関する展開ができます。

行についても同様となります。

線型代数 (ちくま学芸文庫)

線型代数 (ちくま学芸文庫)

  • 作者:毅, 森
  • 発売日: 2020/01/10
  • メディア: 文庫

現代数学のエレファント(5)

行列式

行列式の定義

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 W を体  K 上の  m 次元ベクトル空間とします。 f: V \to W

  • 任意の  u, v \in V に対して  f(u + v) = f(u) + f(v)
  • 任意の  v \in V、任意の  a \in K に対して  f(av) = af(v)

を満たすとき、 V から  W への線型写像と呼びます。 V から  W への線型写像の全体を  \mathcal{L}(V, W) と書くことにします。 \mathcal{L}(V, W) に和とスカラー倍を

  •  f, g \in \mathcal{L}(V, W) に対して  (f + g)(v) = f(v) + g(v) \ (v \in V)
  •  f \in \mathcal{L}(V, W) a \in K に対して  (af)(v) = f(av) \ (v \in V)

と定義すると  K 上の  mn 次元ベクトル空間となります。

 V^{*} = \mathcal{L}(V, K) V の双対空間と呼びます。

 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} V の基底、 \{e'_1, e'_2, \cdots , e'_m\} W の基底、 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, W) g_i(a) = ae'_i とおくと、 \mathcal{L}(V, W) の元は  \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底、 \varphi: V \to V線型写像とするとき、 \bigwedge^{n}(V) は1次元で  e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} が基底となるので、線型写像  \varphi^{\wedge n} : \bigwedge^{n} (V) \to \bigwedge^{n} (V) \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = \varphi (e_{1}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) と定義することができます。

 \wedge^{n} : \mathcal{L}(V, V) \to \mathcal{L}(\bigwedge^{n} (V), \bigwedge^{n} (V)) \wedge^{n}(\varphi) = \varphi^{\wedge n} となる写像とすると、 \wedge^{n}線型写像となります。よって  a \in K が存在して  \varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = a( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) となります。この  a \varphi行列式と呼び  \det \varphi と書きます(以前Wikipediaに従ってこのように定義しました)。 \varphi \in \mathcal{L}(V, V) \det \varphi \in K に対応させる写像  \det : \mathcal{L}(V, V) \to K線型写像となります。

行列式の展開

 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} V の基底、 f_j \in V^{*} f_j(e_i) = \delta_{ij} g_i \in \mathcal{L}(K, V) g_i(a) = ae_i とおくと、 \varphi \in \mathcal{L}(V, V) \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j ( a_{ij} \in K)と表すことができます。

 \bar{d}_i(e_j) = (1 - \delta_{ij}) e_j \varphi'_i = \bar{d}_i \circ \varphi とおきます。

行列式の列に関する展開
 \begin{eqnarray*}
\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & (a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n})) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} a_{i1} (e_{i} \wedge \varphi'_i (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_i (e_{n})) \\
 & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{21} (e_{2} \wedge \varphi'_2 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_2 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{n1} (e_{n} \wedge \varphi'_n (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_n (e_{n})) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。

また、行列式の行に関する展開
 \begin{eqnarray*}
\varphi^{\wedge n} ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) & = & \varphi (e_{1}) \wedge \varphi (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) \\
 & = & (a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1})) \wedge (a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2})) \wedge \cdots \wedge (a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & = & a_{11} (e_{1} \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{12} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge e_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{1n} (\varphi'_1 (e_{1}) \wedge \varphi'_1 (e_{2}) \wedge \cdots \wedge e_{1}) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

 \varphi の行列を  A とします。行に関する展開は  A の転置行列(行と列を入れ替えた行列)  ^tA の列に関する展開となります。よって  n に関する帰納法により  \det {^t}A = \det A が成り立ちます。

 \varphi の転置行列が表す線型写像 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_j f_i と表すことができます。 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j = \bigwedge_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} g_j f_i となります。

交代多重線型形式

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底とします。 f: V^n \to K

  • (多重線型性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_n, v, w \in V に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v + w, u_{k+1}, \cdots, u_n)  = f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n) + f(u_1, \cdots, u_{k-1}, w, u_{k+1}, \cdots, u_n)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_n, v \in V、任意の  a \in K に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, a v, u_{k+1}, \cdots, u_n)  = a f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v, u_{k+1}, \cdots, u_n)
  • (交代性)
    • 任意の  u_1, \cdots, u_{k-1}, u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, u_{l+1}, \cdots, u_n, v \in V k \ne l に対して  f(u_1, \cdots, u_{k-1}, v,  u_{k+1}, \cdots, u_{l-1}, v,  u_{l+1}, \cdots, u_n) = 0

を満たすものとします。

 \varphi: V \to V線型写像とします。

列に関する展開
 \begin{eqnarray*}
f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) 
 & = & f(a_{11} e_{1} + a_{21} e_{2} + \cdots + a_{n1} e_{n}, \varphi (e_{2}), \cdots, \varphi (e_{n})) \\
 & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{21} f(e_{2}, \varphi'_2 (e_{2}), \cdots, \varphi'_2 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{n1} f(e_{n}, \varphi'_n (e_{2}), \cdots, \varphi'_n (e_{n})) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の列に対して成り立ちます。この展開は行列式の列に関する展開と同じなので  n に関する帰納法により  f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n}) が成り立ちます。よってこの展開によって行列式を定義することができます。

また、行に関する展開
 \begin{eqnarray*}
f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) 
 & = & f(a_{11} e_{1} + \varphi'_1 (e_{1}), a_{12} e_{1} + \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, a_{1n} e_{1} + \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & = & a_{11} f(e_{1}, \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & a_{12} f(\varphi'_1 (e_{1}), e_{1}, \cdots, \varphi'_1 (e_{n})) \\
 & + & \\
 & \vdots & \\
 & + & a_{1n} f(\varphi'_1 (e_{1}), \varphi'_1 (e_{2}), \cdots, e_{1}) \\
\end{eqnarray*}
が成り立ちます。これは任意の行に対して成り立ちます。

 \varphi, \psi: V \to V線型写像とします。 v_1, \cdots, v_n \in V に対して  L(v_1, \cdots, v_n) \in \mathcal{L}(V, V) e_i v_i に写す線型写像とします。 f: V^n \to K f(v_1, \cdots, v_n) = \det (\psi \circ L(v_1, \cdots, v_n)) とおくと、 f は多重線型性、交代性を満たすので、 f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = (\det \varphi) f(e_{1}, \cdots, e_{n}) が成り立ちます。
 f(e_{1}, \cdots, e_{n}) = \det (\psi \circ L(e_{1}, \cdots, e_{n})) = \det (\psi)
 f(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n})) = \det (\psi \circ L(\varphi(e_{1}), \cdots, \varphi(e_{n}))) = \det (\psi \circ \varphi)
より  \det (\psi \circ \varphi) =  (\det \psi) (\det \varphi) が成り立ちます。

 \displaystyle \psi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \displaystyle \varphi = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} b_{ij} g_i f_j とすると  f_j g_k = \delta_{jk} 1 より
 \begin{eqnarray*}
\psi \circ \varphi & = & (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j) \circ (\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} b_{kl} g_k f_l) \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{kl} g_i f_j g_k f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \delta_{jk} a_{ij} b_{kl} g_i f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{ij} b_{jl} g_i f_l \\
 & = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jl}\right) g_i f_l \\
\end{eqnarray*}
となり
 \displaystyle \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\right) g_i f_j = \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right) \left( \bigwedge_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} g_i f_j \right)
となります。

線型代数 (ちくま学芸文庫)

線型代数 (ちくま学芸文庫)

  • 作者:毅, 森
  • 発売日: 2020/01/10
  • メディア: 文庫

現代数学のエレファント(4)

逆行列

行列式を使って逆行列を表します。

 A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
 \vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix} y = \begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
 \vdots \\
y_{n} \\
\end{pmatrix}
として  Ax = y、すなわち
 \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
 \vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
 \vdots \\
y_{n} \\
\end{pmatrix} とします。

 E単位行列  E = (\delta_{ij}) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix} とします。ここで  \delta_{ij}
 \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \ne j \ のとき) \\ 1 & (i = j \ のとき) \end{cases}
を表すものとします。 E i 列目を  e_i = \begin{pmatrix}
\delta_{1i} \\
\delta_{2i} \\
\vdots \\
\delta_{ni} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end{pmatrix} ( i 行目が  1)とおきます。

 a_i = A e_i A i 列目となります。このとき  A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix} のように書くことにします。

 Ax = y A e_i = a_i から
 \begin{eqnarray*}
 & & A \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix} \\
 & = & \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
となります。この行列式を考えると
 \begin{eqnarray*}
 & & (\det A) \cdot (\det \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix}) \\
 & = & \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
となって  \det \begin{pmatrix} e_{1} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n} \end{pmatrix} = x_k なので  \det A \ne 0 のとき
 x_k = \cfrac{1}{\det A} \det \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{k-1} & y & a_{k+1} & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}
 x = \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix}
\det \begin{pmatrix} y & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\
\vdots \\
\det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & y \end{pmatrix} \\
\end{pmatrix}
となります。

 A逆行列
 B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\
\end{pmatrix} とします。 b_i = B e_i とおくと  B = \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{pmatrix} となります。

 AB = E より  Ab_i = e_i となるので  \det A \ne 0 のとき
 b_i = \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix}
\det \begin{pmatrix} e_i & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\
\vdots \\
\det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_i \end{pmatrix} \\
\end{pmatrix} となります。よって
 \begin{eqnarray*}
B & = & \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{pmatrix} \\
 & = & \cfrac{1}{\det A} \begin{pmatrix}
\det \begin{pmatrix} e_1 & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} & \cdots &
\det \begin{pmatrix} e_n & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_1 \end{pmatrix} & \cdots &
\det \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & e_n \end{pmatrix} \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
行列式で表すことができます。

現代数学のエレファント(3)

さらに準備をしていきます。

テンソル

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底とします。
 E_k = \{e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } } \mid 1 \leq i_{1}, i_{2}, \cdots , i_{k} \leq n\}
を基底とする K 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を  k-次テンソル冪と呼び  T^k(V) = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V ( k 個)と書きます(この定義はWikipediaによる)。 T^k(V) の次元は  n^k となります。

これらのベクトル空間の直和(すべての  E_k を基底とする無限次元ベクトル空間)
 \displaystyle T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V) = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで  T^0(V) = K T^1(V) = V とします。

 T(V) に演算  \otimes : T(V) \times T(V) \to T(V) を定義します。

まず  V \times V に制限した演算を考えます。
 \otimes_1 : V \times V \to V \otimes V
 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \otimes_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) =
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_j (e_i \otimes e_j)
と定義します。

  • (双線型性)
    • 任意の  u, v, w \in V に対して  (u + v) \otimes_1 w = (u \otimes_1 w) + (v \otimes_1 w)
    • 任意の  u, v, w \in V に対して  u \otimes_1 (v + w) = (u \otimes_1 w) + (v \otimes_1 w)
    • 任意の  u, v \in V、任意の  a \in K に対して  au \otimes_1 v = u \otimes_1 av = a(u \otimes_1 v)

が成り立ちます。

 \otimes_k : T^k (V) \times V \to T^{k+1} (V) k=1 のときは  \otimes_1 k \ge 2 のときは
 (e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } }) \otimes_k e_j
  =  e_{ { i_{1} } } \otimes e_{ {i_{2} }} \otimes \cdots \otimes e_{ { i_{k} } } \otimes e_j
帰納的に定義します。

これを繰り返して  \otimes_{k,l} : T^k (V) \times T^l (V) \to T^{k+l} (V) を定義することができます。

  • (結合性)
    • 任意の  x \in T^k (V) y \in T^l (V) z \in T^m (V) に対して  (x \otimes_{k,l} y) \otimes_{k+l,m} z = x \otimes_{k,l+m} (y \otimes_{l,m} z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y \in T^k (V) z \in T^l (V) に対して  (x + y) \otimes_{k,l} z = (x \otimes_{k,l} z) + (y \otimes_{k,l} z)
    • 任意の  x \in T^k (V) y, z \in T^l (V) に対して  x \otimes_{k,l} (y + z) = (x \otimes_{k,l} y) + (x \otimes_{k,l} z)
    • 任意の  x \in T^k (V) y \in T^l (V)、任意の  a \in K に対して  ax \otimes_{k,l} y = x \otimes_{k,l} ay = a(x \otimes_{k,l} y)

が成り立ちます。

 \otimes_{*} : T(V) \times T(V) \to T(V)
 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) \otimes_* \left(\sum_{j=1}^{n} y_j \right) =
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (x_i \otimes_{i,j} y_j)
( x_i \in T^i (V) y_j \in T^j (V))と定義すると

  • (結合性)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  (x \otimes_{*} y) \otimes_{*} z = x \otimes_{*} (y \otimes_{*} z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  (x + y) \otimes_{*} z = (x \otimes_{*} z) + (y \otimes_{*} z)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  x \otimes_{*} (y + z) = (x \otimes_{*} y) + (x \otimes_{*} z)
    • 任意の  x, y \in T(V)、任意の  a \in K に対して  ax \otimes_{*} y = x \otimes_{*} ay = a(x \otimes_{*} y)

が成り立ちます。

 \otimes_* \otimes と書くと  \bigwedge (V) に演算  \otimes : T(V) \times T(V) \to T(V) が定義できます。

  • (結合性)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  (x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  (x + y) \otimes z = (x \otimes z) + (y \otimes z)
    • 任意の  x, y, z \in T(V) に対して  x \otimes (y + z) = (x \otimes y) + (x \otimes z)
    • 任意の  x, y \in T(V)、任意の  a \in K に対して  ax \otimes y = x \otimes ay = a(x \otimes y)

が成り立ちます。 T(V) は体  K 上の単位的結合代数となります。

現代数学のエレファント(2)

逆行列の計算をするための準備をしていきます。

外積

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底とします。
 E_k = \{e_{ { i_{1} } }\wedge e_{ {i_{2} }}\wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } }\mid 1\leq i_{1} < i_{2} < \cdots  < i_{k}\leq n\}
を基底とする K 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を  k-次外冪と呼び  \bigwedge^k(V) と書きます(この定義はWikipediaによる)。 \bigwedge^k(V) の次元は二項係数  C(n , k) となります。

これらのベクトル空間の直和(すべての  E_k を基底とする  2^n 次元ベクトル空間)
 \displaystyle \textstyle \bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで  \bigwedge^0(V) = K \bigwedge^1(V) = V とします。

 \bigwedge (V) に演算
 \wedge \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)
を定義します。

まず  V \times V に制限した演算を考えます。
 \wedge_1 \colon V \times V \to \bigwedge^2 (V)
 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \wedge_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) =
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} (a_i b_j - a_j b_i) (e_i \wedge e_j)
と定義すると
 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \wedge_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) =
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_j (e_i \wedge e_j)
を満たします。

  • (双線型性)
    • 任意の  u, v, w \in V に対して  (u + v) \wedge_1 w = (u \wedge_1 w) + (v \wedge_1 w)
    • 任意の  u, v, w \in V に対して  u \wedge_1 (v + w) = (u \wedge_1 w) + (v \wedge_1 w)
    • 任意の  u, v \in V、任意の  a \in K に対して  au \wedge_1 v = u \wedge_1 av = a(u \wedge_1 v)
  • 任意の  v \in V に対して  v \wedge_1 v = 0

が成り立ちます。

 \wedge_k \colon \bigwedge^k (V) \times V \to \bigwedge^{k+1} (V) k=1 のときは  \wedge_1 k \ge 2 のときは
 (e_{ { i_{1} } }\wedge e_{ {i_{2} }}\wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } }) \wedge_k e_j
 = \begin{cases}
    - ( (e_{ { i_{1} } } \wedge e_{ {i_{2} }} \wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k-1} } }) \wedge_{k-1} e_j) \wedge e_{ { i_{k} } } & (i_k > j のとき) \\
    0 & (i_k = j \ のとき) \\
    e_{ { i_{1} } } \wedge e_{ {i_{2} }} \wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } } \wedge e_j & (i_k < j のとき) \\
\end{cases}
帰納的に定義することができます。

これを繰り返して  \wedge_{k,l} \colon \bigwedge^k (V) \times \bigwedge^l (V) \to \bigwedge^{k+l} (V) を定義することができます。

  • (結合性)
    • 任意の  x \in \bigwedge^k (V) y \in \bigwedge^l (V) z \in \bigwedge^m (V) に対して  (x \wedge_{k,l} y) \wedge_{k+l,m} z = x \wedge_{k,l+m} (y \wedge_{l,m} z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y \in \bigwedge^k (V) z \in \bigwedge^l (V) に対して  (x + y) \wedge_{k,l} z = (x \wedge_{k,l} z) + (y \wedge_{k,l} z)
    • 任意の  x \in \bigwedge^k (V) y, z \in \bigwedge^l (V) に対して  x \wedge_{k,l} (y + z) = (x \wedge_{k,l} y) + (x \wedge_{k,l} z)
    • 任意の  x \in \bigwedge^k (V) y \in \bigwedge^l (V)、任意の  a \in K に対して  ax \wedge_{k,l} y = x \wedge_{k,l} ay = a(x \wedge_{k,l} y)

が成り立ちます。

 \wedge_{*} \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)
 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) \wedge_* \left(\sum_{j=1}^{n} y_j \right) =
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (x_i \wedge_{i,j} y_j)
( x_i \in \bigwedge^i (V) y_j \in \bigwedge^j (V))と定義すると

  • (結合性)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  (x \wedge_{*} y) \wedge_{*} z = x \wedge_{*} (y \wedge_{*} z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  (x + y) \wedge_{*} z = (x \wedge_{*} z) + (y \wedge_{*} z)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  x \wedge_{*} (y + z) = (x \wedge_{*} y) + (x \wedge_{*} z)
    • 任意の  x, y \in \bigwedge (V)、任意の  a \in K に対して  ax \wedge_{*} y = x \wedge_{*} ay = a(x \wedge_{*} y)

が成り立ちます。

 \wedge_* \wedge と書くと  \bigwedge (V) に演算
 \wedge \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)
が定義できます。

  • (結合性)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  (x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)
  • (双線型性)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  (x + y) \wedge z = (x \wedge z) + (y \wedge z)
    • 任意の  x, y, z \in \bigwedge (V) に対して  x \wedge (y + z) = (x \wedge y) + (x \wedge z)
    • 任意の  x, y \in \bigwedge (V)、任意の  a \in K に対して  ax \wedge y = x \wedge ay = a(x \wedge y)
  • 任意の  v \in V に対して  v \wedge v=0

が成り立ちます。

この演算を外積と呼びます。外積によって  \bigwedge (V) は体  K 上の単位的結合代数となります。

 \bigwedge(V)テンソル代数  T(V) x \otimes x \ (x ∈ V) の形の元で生成される両側イデアル  I で割った商代数  \bigwedge (V) = T(V)/I となり、 x \wedge y =x \otimes y {\pmod {I}} となります。ここでは詳しい説明は省略します。

行列式

 V を体  K 上の  n 次元ベクトル空間、 \{e_1, e_2, \cdots , e_n\} を基底、 \varphi: V \to V線型写像とします。

 \bigwedge^{n} \varphi : \bigwedge^{n} (V) \to \bigwedge^{n} (V) \bigwedge^{n} \varphi ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = \varphi (e_{1}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n}) とすると線型写像となります。よって  a \in K が存在して  \bigwedge^{n} \varphi ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = a( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) となります。この  a \varphi行列式と呼び  \det \varphi と書きます(この定義はWikipediaによる)。

線型写像 n n 列の行列  A で表し  i j 列成分を  a_{ij} とすると  A行列式  \det A
 \displaystyle \det A = \sum_{\sigma \in S_n}  (\operatorname {sgn} \sigma )\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}
となります( S_n n 次対称群、 \operatorname{sgn} は置換の符号)。ここでは詳しい説明は省略します。

行列  A j 列を  v_j \in V とすると  v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = (\det A)(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) となります。

  • (多重線型性)
    • 任意の  x, y \in \bigwedge (V)、任意の  u, v \in V に対して  x \wedge (u + v) \wedge y = (x \wedge u \wedge y) + (x \wedge v \wedge y)
    • 任意の  x, y \in \bigwedge (V)、任意の  v \in V、任意の  a \in K に対して  x \wedge av \wedge y = a(x \wedge v \wedge y)
  • 任意の  x, y \in \bigwedge (V)、任意の  v \in V に対して  x \wedge v \wedge v \wedge y = 0

が成り立ちます。この性質から行列式を計算することができます。

線型代数 (ちくま学芸文庫)

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  • 作者:毅, 森
  • 発売日: 2020/01/10
  • メディア: 文庫

現代数学のエレファント(1)

「声に出して読めなくもない数学」は「現代数学のエレファント」に変更しました。このシリーズでは数学のいろいろな理論を「エレファント化」していく予定です。四色問題のコンピューターを使った証明がエレガントではなくエレファントと言われたらしいです。ここでは(意味は少し違うとは思いますが)定義から計算で証明できるようにすることを「エレファント化」と呼ぶことにします。

たとえば、「円周率の小数点以下8457桁目は何?」や「7492+6383は何?」のような問題は、答えを知らなくても計算する方法があるという事実は知っているので答えを知っているのも同然ということになります。これを「エレファント状態」と呼ぶことにします。サーバーで永久に動き続けるプログラムの実行順序を説明することが難しいので、この問題を「エレファント状態」にするのがこのブログの目標の1つとなっています。

基底と次元

 X をベクトル空間  V の有限部分集合とするとき、 X の元の個数を  \#X X で張られた部分空間を  \langle X \rangle と書くことにします。

 V = \langle X \rangle かつ  X は1次独立のとき  X V の基底と呼びます。前回の (10) より  V の基底の元の個数は、基底  X のとり方によらず決まります。 V の基底の元の個数を  V の次元と呼び  \dim V と書きます。 V = \langle X \rangle かつ  X は1次独立のとき  \dim V = \#X となります。

ベクトル空間  V の有限集合の基底が存在するとき  V を有限次元ベクトル空間と呼びます。 K を体とするとき  V = K^n は有限次元ベクトル空間となります。 a_{ij} i = j のとき  a_{ij} = 1 i \ne j のとき  a_{ij} = 0 e_i = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}) とすると、 E_n = \{e_1,e_2, \cdots, e_n\} K^n の基底となります。

行列のランク

 m n 列の行列  M k 行目を有限次元ベクトル空間  K^n の元と見たものを  M_k とします。 V_M = \{M_1, M_2, \cdots, M_m\} とします。

 K^n の有限部分集合  X に対して  r(X) = \dim \langle X \rangle とおきます。 r(V_M) = \dim \langle V_M \rangle M のランクと呼びます。

 m \le n のとき  K^m の元の  m+1 番目から  n 番目までの成分を  0 とすることで  K^m \subseteq K^n とみなします。

 K^\nu の有限部分集合  X K^n で1次独立( n \le \nu)であるということを以下のように帰納的に定義します。

  • (1) 空集合 K^n で1次独立
  • (2- n)  X K^n で1次独立かつ  v \in K^n \setminus \langle X \rangle ならば  X \cup \{v\} K^n で1次独立

空集合から (2- n) を繰り返してできる集合を  K^n で1次独立とします。 K^n で1次独立ではない集合を  K^n で1次従属とします。

  • (3)  m \le n のとき  K^m の有限部分集合  X に対して
    •  X K^m で1次独立  \iff  X K^n で1次独立
  • (4)  X \subseteq Y \implies r(X) \le r(Y)
  • (5)  r(X \cup Y) \le r(X) + r(Y)
  • (6)  r(\varnothing) = r(\{0\}) = 0
  • (7)  r(\{u\}) \le 1
  • (8)  r(X) \le \#X
  • (9)  X は1次独立  \implies r(X) = \#X
  • (10)  X \subseteq E_n \implies r(X) = \#X

行に関する基本変形

集合  X と集合  Y の集合の直和を  X +_1 Y と書くことにします。集合の直和は  X \cap Y = \varnothing のときの  X \cup Y になります。

  • (11)  a \ne 0 \implies r(X +_1 \{u\}) = r(X +_1 \{au\})
  • (12)  r(X +_1 \{u\} +_1 \{v\}) = r(X +_1 \{u\} +_1 \{u+v\})
  • (13)  a \ne 0 \implies r(X +_1 Y) = r(X +_1 aY)
  • (14)  r(X +_1 Y +_1 Z) = r(X +_1 Y +_1 (Y + Z))

列に関する基本変形

行に関する議論を列に関する議論にすることができます。 m n 列の行列  M k 列目を有限次元ベクトル空間  K^m の元と見たものについて同様の議論ができます。この場合の集合  X と集合  Y の集合の直和を  X +_2 Y と書くことにします。

  • (15)  a \ne 0 \implies r(X +_2 Y) = r(X +_2 aY)
  • (16)  r(X +_2 Y +_2 Z) = r(X +_2 Y +_2 (Y + Z))
  • (17)  K^n の任意の有限部分集合  X に対して、 X から行に関する基本変形と列に関する基本変形を繰り返して得られる  Y \subseteq E_n が存在して、 r(X) = r(Y) を満たす

[証明]  X \subseteq K^m を満たす最小の  m に関する帰納法で示します。 m =  0 のときは成り立っています。 m \ge 1 とします。

 v \in (X \cap K^m) \setminus K^{m-1} が存在します。 v = (a_1, a_2, \cdots, a_m) とすると  a_m \ne 0 となります。 X = \{u_1, u_2, \cdots, u_k, v\} u_i = (b_{i1}, b_{i2}, \cdots, b_{im}) とします。 Y = \{u_1 - \frac{b_{1m}}{a_m} v, u_2 - \frac{b_{2m}}{a_m} v, \cdots, u_k - \frac{b_{km}}{a_m} v\} とおくと  Y \subseteq K^{m-1} となります。

帰納法の仮定より  Y から行に関する基本変形と列に関する基本変形を繰り返して得られる  Z \subseteq E_n が存在して、 r(Y) = r(Z) を満たします。 Y +_1 \{v\} から列に関する基本変形 Y +_1 \{e_m\} に変形できるので  r(X) = r(Y +_1 \{v\}) = r(Y +_1 \{e_m\}) = r(Z +_1 \{e_m\}) となって  m のときにも成り立ちます。[証明終わり]

 m n 列の行列  M k 列目を有限次元ベクトル空間  K^m の元と見たものを  M_k とするとき  W_M = \{M_1, M_2, \cdots, M_n\} とします。 r(W_M) M の列に関するランクと呼びます。

  • (18) 行列  M の列に関するランクは行列  M の(行に関する)ランクと等しい
  • (19) 行列  M は行に関する基本変形で行に関する階段行列に変形できる
  • (20) 行列  M は列に関する基本変形で列に関する階段行列に変形できる

これで行列のランクを定義から計算できるようになったのですが、 +_1 +_2 の定義があまり良くないような気もするので、次回以降はこのあたりを修正して計算をやっていきたいと思います。

線形性・固有値・テンソル <線形代数>応用への最短コース (KS理工学専門書)

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  • 作者:原 啓介
  • 発売日: 2019/02/24
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)