集合の計算(4) - エレファント・コンピューティング調査報告

前回と同様、いったん $f: X \to Y$ 、 $x \in X$ 、 $y \in Y$ 、 $U \subseteq Y$ のとき

$f(x) = y \iff x \in f^{-1}(y)$
$f(x) \in U \iff x \in f^{-1}(U)$

が成り立つとします。

$f: X \to Y$ 、 $A \subseteq X$ 、 $B \subseteq X$ 、 $U \subseteq Y$ 、 $V \subseteq Y$ のとき

$A \subseteq B \implies f(A) \subseteq f(B)$
$U \subseteq V \implies f^{-1}(U) \subseteq f^{-1}(V)$

が成り立つとします。

この方針で (1) から (8) までの証明を書き直します。

$f: X \to Y$ 、 $A \subseteq X$ 、 $B \subseteq X$ 、 $U \subseteq Y$ 、 $V \subseteq Y$ 、 $X$ の部分集合系 $(A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda)$ 、 $Y$ の部分集合系 $(U_\mu \mid \mu \in M)$ に対して以下が成り立ちます。

(1) $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} & & (A \cap B \subseteq A) \land (A \cap B \subseteq B) \\ & \implies & (f(A \cap B) \subseteq f(A)) \land (f(A \cap B) \subseteq f(B)) \\ & \implies & f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(2) $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) & = & \{ f(x) \mid x \in A \cup B \} \\ & = & \{ f(x) \mid x \in A \lor x \in B \} \\ & = & \{ f(x) \mid x \in A \} \cup \{ f(x) \mid x \in B \}\\ & = & f(A) \cup f(B) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(3) $f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U \cap V) & = & \{ x \in X \mid f(x) \in U \cap V \} \\ & = & \{ x \in X \mid f(x) \in U \land f(x) \in V \} \\ & = & \{ x \in X \mid x \in f^{-1}(U) \land x \in f^{-1}(V) \} \\ & = & f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(4) $f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U \cup V) & = & \{ x \in X \mid f(x) \in U \cup V \} \\ & = & \{ x \in X \mid f(x) \in U \lor f(x) \in V \} \\ & = & \{ x \in X \mid x \in f^{-1}(U) \lor x \in f^{-1}(V) \} \\ & = & f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) \\ \end{eqnarray*}$
これを $f$ が写像でなくても成り立つように書き換えます。そのため $A(\lambda)$ が $X$ の部分集合( $\lambda \in \Lambda$ )、 $p(\lambda)$ が $\lambda$ に関する条件のとき、 $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{ x \in A(\lambda) \mid p(\lambda) \} = \{ x \in X \mid \exists \lambda \in \Lambda ( x \in A(\lambda) \land p(\lambda) ) \}$ を $\{ A(\lambda) \mid \mid p(\lambda) \}$ と書くことにします。この記法を使うと
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U \cup V) & = & \{ f^{-1}(y) \mid \mid y \in U \cup V \} \\ & = & \{ f^{-1}(y) \mid \mid y \in U \lor y \in V \} \\ & = & \{ f^{-1}(y) \mid \mid y \in U \} \cup \{ f^{-1}(y) \mid \mid y \in V \}\\ & = & f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(5) $\displaystyle f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} & & \forall \lambda \in \Lambda \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \subseteq A_\lambda \right) \\ & \implies & \forall \lambda \in \Lambda \left( f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq f(A_\lambda) \right) \\ & \implies & f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(6) $\displaystyle f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) & = & \left\{ f(x) \middle\vert x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right\} \\ & = & \{ f(x) \mid \exists \lambda \in \Lambda (x \in A_\lambda) \} \\ & = & \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{ f(x) \mid x \in A_\lambda \} \\ & = & \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(7) $\displaystyle f^{-1}(\bigcap_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcap_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\bigcap_{\mu \in M} U_\mu) & = & \left\{ x \middle\vert f(x) \in \bigcap_{\mu \in M} U_\mu \right\} \\ & = & \{ x \mid \forall \mu \in M (f(x) \in U_\mu) \} \\ & = & \{ x \mid \forall \mu \in M (x \in f^{-1}(U_\mu)) \} \\ & = & \bigcap_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]

(8) $\displaystyle f^{-1}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcup_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$

[証明]
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) & = & \left\{ x \middle\vert f(x) \in \bigcup_{\mu \in M} U_\mu \right\} \\ & = & \{ x \mid \exists \mu \in M (f(x) \in U_\mu) \} \\ & = & \{ x \mid \exists \mu \in M (x \in f^{-1}(U_\mu)) \} \\ & = & \bigcup_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu) \\ \end{eqnarray*}$
これを $f$ が写像でなくても成り立つように書き換えます。
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) & = & \left\{ f^{-1}(x) \middle\vert \middle\vert x \in \bigcup_{\mu \in M} U_\mu \right\} \\ & = & \{ f^{-1}(x) \mid \mid \exists \mu \in M (x \in U_\mu) \} \\ & = & \bigcup_{\mu \in M} \{ f^{-1}(x) \mid \mid x \in U_\mu \} \\ & = & \bigcup_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu) \\ \end{eqnarray*}$
[証明終わり]