人工知能的論理プログラミング(8) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

理想的な並行論理プログラミング言語

「論理プログラミング」、「論理計算と随伴関手」、「半環上のフラクタル代数」、「フラクタル代数言語 Fractal」、「一階述語論理」などの内容です。以下のようなことを考察します。

Prolog のプログラムを「プログラムを変換するもの」と考える
変換されたものを $P^1, P^2, \cdots$ (再帰の深さ $n$ のものを $P^n$ )
ある $P^n$ の結果が真ならば証明できるか？
これを使って無限に実行できるか？

これを考えるために Prolog のプログラムを多項式に対応させることができるかどうかを考えます。多項式については答えてくれるようなので ChatGPT で質問してみます。以下は入力とそれに対する答えです。間違っているけど考える助けにはなります。「あなたは数学の専門家です」と入力すると良いということですが、効果があるかどうかは不明です。

あなたは数学の専門家です。多項式と形式的べき級数の関係について説明してください

多項式と形式的べき級数は、数学の分野で重要な役割を果たす概念です。まず、それぞれの定義から始めて、その関係について説明します。

多項式：多項式は、1つ以上の変数に対する有限個の項の和で表される関数です。各項は変数のべき乗と定数の積で構成されます。例えば、 $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ は多項式の例です。ここで、 $x$ は変数であり、2乗項、1次項、定数項がそれぞれ含まれています。

形式的べき級数：形式的べき級数は、次数が無限に広がる可能性のある項の和で表される数列です。この数列は、通常の数学的な意味での収束性や収束先を持たず、単に形式的な操作においてのみ意味を持ちます。例えば、 $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ という形式的べき級数は、無限の次数を持つ数列として表されます。

これらの概念の関係は、形式的べき級数が多項式を一般化したものと見ることができます。多項式は有限個の項の和で表されますが、形式的べき級数は無限個の項の和で表されます。そのため、多項式は形式的べき級数の特別な場合と考えることができます。
また、多項式は形式的べき級数の1つの特殊な形であるとも言えます。多項式は次数が有限であるため、その級数展開を有限項で打ち切ることができます。つまり、多項式は次数が無限でない形式的べき級数と見なすことができます。
簡単に言えば、多項式は形式的べき級数の特殊なケースであり、形式的べき級数は多項式を一般化したものであるという関係があります。

環上の多項式を環と不定元で自由生成された環の元と考えます。同じような考え方で形式的べき級数を説明してください

形式的べき級数を説明するためには、まず環上の多項式の概念を振り返ります。
環上の多項式：環 $R$ 上の多項式は、 $R[x]$ と書かれ、 $x$ を不定元として、 $R$ の元から構成される形式的な式の集合です。これらの式は、 $R$ の元を係数として持つ有限個の $x$ のべき乗の和で表されます。例えば、実数の環 $\mathbb{R}$ 上の多項式は、実数係数を持つ形式的な式の集合です。
形式的べき級数：環 $R$ 上の形式的べき級数は、 $R[[x]]$ と書かれ、 $x$ を不定元として、 $R$ の元から構成される形式的な式の集合です。これらの式は、 $R$ の元を係数として持つ無限個の $x$ のべき乗の和で表されます。例えば、実数の環 $\mathbb{R}$ 上の形式的べき級数は、実数係数を持つ形式的な式の集合ですが、この級数は収束性を持ちません。
環上の多項式が $R$ と $x$ から生成される自由な環の元であると考えると、形式的べき級数も同様に $R$ と $x$ から生成される自由な環の元と見なすことができます。ただし、形式的べき級数は無限個の $x$ のべき乗の和で表されるため、その生成される自由な環の元は無限個の基底要素を持ちます。
したがって、環上の多項式が有限個の $x$ のべき乗の和で構成されるのに対し、形式的べき級数は無限個の $x$ のべき乗の和で構成されるという点で異なります。しかし、両者とも環 $R$ 上で係数を持ち、 $x$ を不定元として構成される形式的な式の集合であるという共通点があります。

形式的べき級数を多項式の極限として説明してください

形式的べき級数を多項式の極限として説明することは、非常に重要であり直感的な理解を提供します。
多項式は有限個の項の和で構成される関数ですが、形式的べき級数は無限個の項の和で構成される数列です。これにより、形式的べき級数は多項式の極限と見なすことができます。
具体的には、 $x$ のべき級数として表される関数が多項式として表される関数の極限となります。例えば、 $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ という形式的べき級数は、 $n$ が大きくなるにつれて次数が増えていきます。この級数は、 $n \to \infty$ の極限として考えると、 $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ は $\frac{1}{1-x}$ という形式的な表現に収束します。
このように、形式的べき級数は多項式の極限として考えることができます。多項式が有限個の項の和で表されるのに対し、形式的べき級数は無限個の項の和で表されるため、その和を取る際には収束性を考える必要があります。しかし、形式的べき級数を多項式の極限として捉えることで、より広い範囲の関数を扱うことができるようになります。

形式的べき級数を多項式の射影的極限として説明してください

形式的べき級数を多項式の射影的極限として説明することは、抽象的な数学的概念に基づいて行われる説明です。射影的極限は、ある構造（例えば、多項式環）の部分構造（例えば、次数に制限された多項式の集合）に対する極限を取る操作です。
形式的べき級数を多項式の射影的極限として説明するには、次のステップが必要です。

有限次数の多項式の集合を考える：まず、有限次数の多項式の集合 $R[x]_n$ を考えます。これは次数が $n$ 以下の全ての多項式からなる集合です。

部分集合の包含関係を考える：集合 $R[x]_0$ から始めて、次数が $n$ 以下の多項式の集合を順に考えます。各集合は、その次数の多項式を持ち、次数が増えるにつれて集合の要素数も増えます。また、この各集合 $R[x]_n$ は $R[x]_{n+1}$ の部分集合として考えることができます。

部分集合間の関係を考える：各集合 $R[x]_n$ から $R[x]_{n+1}$ への包含写像があります。これは、次数 $n$ の多項式を次数 $n+1$ の多項式として埋め込む写像です。

射影的極限を取る：次数が無限に増加するとき、各次数 $n$ における多項式の集合 $R[x]_n$ の極限を考えます。この極限を取る操作が射影的極限です。

形式的べき級数の定義：射影的極限により得られた集合が、形式的べき級数の集合 $R[[x]]$ です。これは、無限次数の多項式の和で構成される集合であり、各要素は $x$ のべき乗の係数を持ちます。

このようにして、形式的べき級数は、次数が無限に増加する多項式の集合として、多項式の射影的極限として定義されます。これにより、形式的べき級数は無限の次数を持ち、収束性を持たない数列として捉えることができます。

$R[x]_n$ が環ではないのでちょっと変ですが、流れは合っています。

多項式の代入について説明してください

多項式の代入とは、与えられた多項式の変数に具体的な値を代入して、新しい式を得る操作です。多項式の代入は、多項式の値を計算したり、式を変形したりするために広く使用されます。
多項式の代入をより具体的に説明するために、例を挙げてみましょう。
例えば、多項式 $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ に $x = 4$ を代入する場合、次のようになります：
$f(4) = 3(4)^2 + 2(4) - 1$
$= 3 \times 16 + 2 \times 4 - 1$
$= 48 + 8 - 1$
$= 55$
このようにして、 $x = 4$ を $f(x)$ に代入すると、値 $55$ を得ます。
多項式の代入は、一般的に次の手順に従います。

代入したい値を多項式の変数に代入します。これにより、各項の中の変数が具体的な値に置き換えられます。

代入された式を計算し、新しい値を得ます。

多項式の代入は、多項式の値を計算したり、式を簡略化したりするのに非常に便利です。また、多項式の代入は、数値計算や数学的な証明においても広く使用されます。

多項式に多項式を代入するとします。これを無限に繰り返したものを形式的べき級数で表すことはできますか

はい、多項式に多項式を代入してそれを無限に繰り返すことを形式的べき級数で表すことができます。この操作は、形式的べき級数の概念を用いて次のように記述することができます。
多項式 $f(x)$ を考えます。そして、 $f(f(x))$ を $f(x)$ に代入したものとします。つまり、 $f(f(x))$ は次のようになります。
$f(f(x)) = f(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots)$
ここで、 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ は $f(x)$ の係数です。
この操作を再帰的に繰り返すと、以下のような形式的べき級数が得られます。
$f(f(f(\ldots f(x) \ldots)))$
このようにして、多項式に多項式を代入して繰り返す操作を形式的に表すことができます。これが形式的べき級数の一例であり、多項式による無限の繰り返しを表現しています。

無限の $f(f(f(\ldots f(x) \ldots)))$ が形式的べき級数で表せるかどうか(たぶんできない)を聞いているのですがそれには答えてくれません。