人工知能的写像の理論(1) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

ChatGPTでブログの記事を分析したものを書いてもらうというのはなかなか難しそうなので、ChatGPTでいろいろやりとりしながら、それを参考に記事の内容をまとめてみることにします。

まず写像と同値類の関係についてまとめてみます。

「群論の計算」の「写像による分類」(さらにその後の「写像の計算」)
群論の計算(2) - エレファント・ビジュアライザー調査記録
 群論の計算(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録
の項目では何をやっているのかというと、「準同型定理」のようなものを「写像の理論を使って書く」ための準備をやっています。「準同型定理」はもともと写像で書かれているので、「写像の理論を使って書く」というのは変ですが、普通の数学の本では写像の理論がそれほど使われているわけではないという印象なので、写像を中心とした書き方をしようとしています。普通の数学の本に書かれていることをわざわざ書くのは意味がないのでそのようにしています。

まず「集合の計算」の内容をまとめます。ここはまだ準備なのでブログの内容をまとめただけとします。これは普通の数学の本に書かれている内容です。

$f: X \to Y$ 、 $g: Y \to Z$ に対して

(1) $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$
(2) $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
(3) $f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)$
(4) $f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$
(5) $\displaystyle f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$
(6) $\displaystyle f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$
(7) $\displaystyle f^{-1}(\bigcap_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcap_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$
(8) $\displaystyle f^{-1}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcup_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$

(1) $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$
(2) $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
(3) $f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)$
(4) $f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$
(5) $\displaystyle f(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$
(6) $\displaystyle f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(A_\lambda)$
(7) $\displaystyle f^{-1}(\bigcap_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcap_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$
(8) $\displaystyle f^{-1}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcup_{\mu \in M} f^{-1}(U_\mu)$

「集合の計算(4)」の議論を $f \in \mathfrak{P}(X \times Y)$ の場合について考えます。(写像の代わりに $X \times Y$ の部分集合を考えます。写像全体を $\mathcal{M}(X, Y)$ で表します。)

(1) $\overline{f}(A \cap B) \subseteq \overline{f}(A) \cap \overline{f}(B)$
(2) $\overline{f}(A \cup B) = \overline{f}(A) \cup \overline{f}(B)$
(3) $f \in \mathcal{M}(X, Y) \implies \overline{f^{-1}}(U \cap V) = \overline{f^{-1}}(U) \cap \overline{f^{-1}}(V)$
(4) $\overline{f^{-1}}(U \cup V) = \overline{f^{-1}}(U) \cup \overline{f^{-1}}(V)$
(5) $\displaystyle \overline{f}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \subseteq \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \overline{f}(A_\lambda)$
(6) $\displaystyle \overline{f}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \overline{f}(A_\lambda)$
(7) $\displaystyle f \in \mathcal{M}(X, Y) \implies \overline{f^{-1}}(\bigcap_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcap_{\mu \in M} \overline{f^{-1}}(U_\mu)$
(8) $\displaystyle \overline{f^{-1}}(\bigcup_{\mu \in M} U_\mu) = \bigcup_{\mu \in M} \overline{f^{-1}}(U_\mu)$

「集合の計算(3)」の議論を $f \in \mathfrak{P}(X \times Y)$ の場合について考えます。

(i) $\overline{f}(\{x\}) \subseteq U \implies x \in \overline{f^{-1}}(U)$
(ii) $x \in \overline{f^{-1}}(U) \implies \overline{f}(\{x\}) \subseteq U$
(iii) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f}(A) \subseteq U \implies A \subseteq \overline{f^{-1}}(U)$
(iv) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $A \subseteq \overline{f^{-1}}(U) \implies \overline{f}(A) \subseteq U$

(9) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $A \subseteq \overline{f^{-1}}(\overline{f}(A))$
(10) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f}(\overline{f^{-1}}(U)) \subseteq U$
(11) $\overline{f}(A) \setminus \overline{f}(B) \subseteq \overline{f}(A \setminus B)$
(12) $f \in \mathcal{M}(X, Y)$ のとき $\overline{f^{-1}}(U) \setminus \overline{f^{-1}}(V) = \overline{f^{-1}}(U \setminus V)$