エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

群論の計算(3)

写像の計算

写像  f: X \to Y の像と逆像は

  •  S \subseteq X に対して  \displaystyle f(S) = \bigcup_{s \in S} \{ f(s) \}
  •  u \in Y に対して  \displaystyle f^{-1}(u) = \bigcup_{x \in X} \{ x  | f(x) = u \}
  •  U \subseteq Y に対して  \displaystyle f^{-1}(U) = \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u)

のようになります。

 \begin{eqnarray*} 
 & & s \in \bigcup_{j \in \bigcup_{i \in I} J_i } S_j \Leftrightarrow \exists j \in \bigcup_{i \in I} J_i ( s \in S_j ) \\
 & \Leftrightarrow & \exists j \in \{ j | \exists i \in I (j \in J_i) \} (s \in S_j ) \\
 & \Leftrightarrow & \exists j \exists i \in I (j \in J_i \land s \in S_j ) \\
 & \Leftrightarrow & \exists i \in I \exists j \in J_i ( s \in S_j ) \Leftrightarrow s \in \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j 
\end{eqnarray*}

 \begin{eqnarray*} 
 & & s \in \bigcup_{j \in \bigcap_{i \in I} J_i } S_j \Leftrightarrow \exists j \in \bigcap_{i \in I} J_i ( s \in S_j ) \\
 & \Leftrightarrow & \exists j \in \{ j | \forall i \in I (j \in J_i) \} (s \in S_j ) \\
 & \Leftrightarrow & \exists j \forall i \in I (j \in J_i \land s \in S_j ) \\
 & \Rightarrow & \forall i \in I \exists j \in J_i ( s \in S_j ) \Leftrightarrow s \in \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j 
\end{eqnarray*}
であることから

(1)

 J_i \subseteq J, \ (i \in I) S_j \subseteq X, \ (j \in J_i) とすると

  •  \displaystyle \bigcup_{j \in \bigcup_{i \in I} J_i } S_j = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j
  •  \displaystyle \bigcup_{j \in \bigcap_{i \in I} J_i } S_j \subseteq \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j

が成り立ちます。

(2)

 S_i \subseteq X, \ (i \in I) U_j \subseteq Y, \ (j \in J) とすると

  •  \displaystyle f(\bigcup_{i \in I} S_i) = \bigcup_{s \in \bigcup_{i \in I} S_i } \{ f(s) \} = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{s \in S_i} \{ f(s) \} = \bigcup_{i \in I} f(S_i)
  •  \displaystyle f^{-1}(\bigcup_{j \in J} U_j) = \bigcup_{u \in \bigcup_{j \in J} U_j }  f^{-1}(u)  = \bigcup_{j \in J} \bigcup_{u \in U_j}  f^{-1}(u) = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(U_j)
  •  \displaystyle f(\bigcap_{i \in I} S_i) = \bigcup_{s \in \bigcap_{i \in I} S_i} \{ f(s) \} \subseteq \bigcap_{i \in I} \bigcup_{s \in S_i} \{ f(s) \} = \bigcap_{i \in I} f(S_i)
  •  \displaystyle f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j) = \bigcup_{u \in \bigcap_{j \in J} U_j }  f^{-1}(u)  \subseteq \bigcap_{j \in J} \bigcup_{u \in U_j}  f^{-1}(u) = \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j)

が成り立ちます。

(3)

 I \subseteq J ならば  \displaystyle \bigcup_{x \in I} A_x \subseteq \bigcup_{x \in J} A_x であることから
 S \subseteq T \subseteq X ならば  \displaystyle f(S) = \bigcup_{s \in S} \{ f(s) \} \subseteq \bigcup_{t \in T} \{ f(t) \} = f(T)
 U \subseteq V \subseteq Y ならば  \displaystyle f^{-1}(U) = \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u) \subseteq \bigcup_{v \in V} f^{-1}(v) = f^{-1}(V)
が成り立ちます。

(4)

 u \in Y に対して  \displaystyle f(f^{-1}(u)) = f( \bigcup_{x \in X} \{ x  | f(x) = u \}) = \bigcup_{x \in X} \{ f(x) | f(x) = u \} = \{ u \}
 U \subseteq Y に対して  \displaystyle f(f^{-1}(U)) = f( \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u)) = \bigcup_{u \in U} f(f^{-1}(u)) = \bigcup_{u \in U} \{ u \} = U
 S \subseteq X に対して任意の  x \in X に対して  x \in f^{-1}(f(x)) であることから  \displaystyle f^{-1}(f(S)) = f^{-1}( f( \bigcup_{s \in S} \{ s \} ) ) = \bigcup_{s \in S} f^{-1}(f( \{ s \} )) \supseteq \bigcup_{s \in S} \{ s \} = S
が成り立ちます。

(5)

 U_j \subseteq Y, \ (j \in J) とすると

  •  \displaystyle \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j) \subseteq f^{-1}(f( \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j) )) \subseteq f^{-1}( \bigcap_{j \in J} f(f^{-1}(U_j) )) = f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j)

が成り立ち、したがって

  •  \displaystyle f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j) = \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j)

が成り立ちます。

(6)

 f: G \to H を群の準同型、 S \subseteq G T \subseteq G U \subseteq H V \subseteq H とします。

  •  f(ST) = f(S)f(T)
  •  f(S^{-1}) = f(S)^{-1}
  •  f^{-1}(ST) = f^{-1}(f(f^{-1}(S))f(f^{-1}(T))) = f^{-1}(f( f^{-1}(S)f^{-1}(T) )) \supseteq f^{-1}(S)f^{-1}(T)
  •  f^{-1}(S^{-1}) = f^{-1}(f(f^{-1}(S))^{-1}) = f^{-1}(f(f^{-1}(S)^{-1})) \supseteq f^{-1}(S)^{-1}

が成り立ちます。