群論の計算(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

写像の計算

写像 $f: X \to Y$ の像と逆像は

$S \subseteq X$ に対して $\displaystyle f(S) = \bigcup_{s \in S} \{ f(s) \}$
$u \in Y$ に対して $\displaystyle f^{-1}(u) = \bigcup_{x \in X} \{ x | f(x) = u \}$
$U \subseteq Y$ に対して $\displaystyle f^{-1}(U) = \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u)$

のようになります。

$\begin{eqnarray*} & & s \in \bigcup_{j \in \bigcup_{i \in I} J_i } S_j \Leftrightarrow \exists j \in \bigcup_{i \in I} J_i ( s \in S_j ) \\ & \Leftrightarrow & \exists j \in \{ j | \exists i \in I (j \in J_i) \} (s \in S_j ) \\ & \Leftrightarrow & \exists j \exists i \in I (j \in J_i \land s \in S_j ) \\ & \Leftrightarrow & \exists i \in I \exists j \in J_i ( s \in S_j ) \Leftrightarrow s \in \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & & s \in \bigcup_{j \in \bigcap_{i \in I} J_i } S_j \Leftrightarrow \exists j \in \bigcap_{i \in I} J_i ( s \in S_j ) \\ & \Leftrightarrow & \exists j \in \{ j | \forall i \in I (j \in J_i) \} (s \in S_j ) \\ & \Leftrightarrow & \exists j \forall i \in I (j \in J_i \land s \in S_j ) \\ & \Rightarrow & \forall i \in I \exists j \in J_i ( s \in S_j ) \Leftrightarrow s \in \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j \end{eqnarray*}$
であることから

(1)

$J_i \subseteq J, \ (i \in I)$ 、 $S_j \subseteq X, \ (j \in J_i)$ とすると

$\displaystyle \bigcup_{j \in \bigcup_{i \in I} J_i } S_j = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j$
$\displaystyle \bigcup_{j \in \bigcap_{i \in I} J_i } S_j \subseteq \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} S_j$

が成り立ちます。

(2)

$S_i \subseteq X, \ (i \in I)$ 、 $U_j \subseteq Y, \ (j \in J)$ とすると

$\displaystyle f(\bigcup_{i \in I} S_i) = \bigcup_{s \in \bigcup_{i \in I} S_i } \{ f(s) \} = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{s \in S_i} \{ f(s) \} = \bigcup_{i \in I} f(S_i)$
$\displaystyle f^{-1}(\bigcup_{j \in J} U_j) = \bigcup_{u \in \bigcup_{j \in J} U_j } f^{-1}(u) = \bigcup_{j \in J} \bigcup_{u \in U_j} f^{-1}(u) = \bigcup_{j \in J} f^{-1}(U_j)$
$\displaystyle f(\bigcap_{i \in I} S_i) = \bigcup_{s \in \bigcap_{i \in I} S_i} \{ f(s) \} \subseteq \bigcap_{i \in I} \bigcup_{s \in S_i} \{ f(s) \} = \bigcap_{i \in I} f(S_i)$
$\displaystyle f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j) = \bigcup_{u \in \bigcap_{j \in J} U_j } f^{-1}(u) \subseteq \bigcap_{j \in J} \bigcup_{u \in U_j} f^{-1}(u) = \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j)$

が成り立ちます。

(3)

$I \subseteq J$ ならば $\displaystyle \bigcup_{x \in I} A_x \subseteq \bigcup_{x \in J} A_x$ であることから
$S \subseteq T \subseteq X$ ならば $\displaystyle f(S) = \bigcup_{s \in S} \{ f(s) \} \subseteq \bigcup_{t \in T} \{ f(t) \} = f(T)$
$U \subseteq V \subseteq Y$ ならば $\displaystyle f^{-1}(U) = \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u) \subseteq \bigcup_{v \in V} f^{-1}(v) = f^{-1}(V)$
が成り立ちます。

(4)

$u \in Y$ に対して $\displaystyle f(f^{-1}(u)) = f( \bigcup_{x \in X} \{ x | f(x) = u \}) = \bigcup_{x \in X} \{ f(x) | f(x) = u \} = \{ u \}$
$U \subseteq Y$ に対して $\displaystyle f(f^{-1}(U)) = f( \bigcup_{u \in U} f^{-1}(u)) = \bigcup_{u \in U} f(f^{-1}(u)) = \bigcup_{u \in U} \{ u \} = U$
$S \subseteq X$ に対して任意の $x \in X$ に対して $x \in f^{-1}(f(x))$ であることから $\displaystyle f^{-1}(f(S)) = f^{-1}( f( \bigcup_{s \in S} \{ s \} ) ) = \bigcup_{s \in S} f^{-1}(f( \{ s \} )) \supseteq \bigcup_{s \in S} \{ s \} = S$
が成り立ちます。

(5)

$U_j \subseteq Y, \ (j \in J)$ とすると

$\displaystyle \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j) \subseteq f^{-1}(f( \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j) )) \subseteq f^{-1}( \bigcap_{j \in J} f(f^{-1}(U_j) )) = f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j)$

が成り立ち、したがって

$\displaystyle f^{-1}(\bigcap_{j \in J} U_j) = \bigcap_{j \in J} f^{-1}(U_j)$

が成り立ちます。

(6)

$f: G \to H$ を群の準同型、 $S \subseteq G$ 、 $T \subseteq G$ 、 $U \subseteq H$ 、 $V \subseteq H$ とします。

$f(ST) = f(S)f(T)$
$f(S^{-1}) = f(S)^{-1}$
$f^{-1}(ST) = f^{-1}(f(f^{-1}(S))f(f^{-1}(T))) = f^{-1}(f( f^{-1}(S)f^{-1}(T) )) \supseteq f^{-1}(S)f^{-1}(T)$
$f^{-1}(S^{-1}) = f^{-1}(f(f^{-1}(S))^{-1}) = f^{-1}(f(f^{-1}(S)^{-1})) \supseteq f^{-1}(S)^{-1}$

が成り立ちます。