群論の計算(4) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

共役類

群 $G$ の元 $x$ と $y$ に対して $y^x = x^{-1}yx$ と定義します。

$x, y \in G$ と $X, Y \subseteq G$ に対して

$Y^x = \{ y^x | y \in Y \}$
$y^X = \{ y^x | x \in X \}$
$Y^X = \{ y^x | x \in X, y \in Y \}$

と定義します。

群 $G$ の元 $x$ と $y$ に対して $x = y^z$ を満たす $z \in G$ が存在するとき $x$ と $y$ は共役であると言います。 $x$ と $y$ が共役であることは同値関係となります。この同値関係に関する同値類を共役類と呼びます。 $x \in G$ を含む共役類は $x^G$ となります。これを $x$ の共役類と呼びます。

$f: G \to H$ を群の準同型とします。
$x \in G$ と $y \in G$ に対して $f(y^x) = f(x^{-1}yx) = f(x^{-1})f(y)f(x) = f(x)^{-1}f(y)f(x) = f(y)^{f(x)}$
$X \subseteq G$ と $Y \subseteq G$ に対して $f(Y^X) = \{ f(y^x) | x \in X, y \in Y \} = \{ f(y)^{f(x)} | x \in X, y \in Y \} = f(Y)^{f(X)}$
$U \subseteq H$ と $V \subseteq H$ に対して
$f^{-1}(V)^{f^{-1}(U)} \subseteq f^{-1}(f(f^{-1}(V)^{f^{-1}(U)})) = f^{-1}(f(f^{-1}(V))^{f(f^{-1}(U))})) = f^{-1}(V^U)$
が成り立ちます。