エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

群論の計算(5)

正規化群

 G の部分集合  H に対して、 H の正規化群を

  •  \mathrm{N}_G(H) = \{ x \in G | H^x = H \}

と定義します。 \mathrm{N}_G(H) G の部分群となります。 H G の部分群ならば  H \mathrm{N}_G(H)正規部分群となり、 \mathrm{N}_G(H) H正規部分群として含む最大の部分群となります。 H G正規部分群ならば  \mathrm{N}_G(H) = G となります。

中心

 G の中心を

  •  \mathrm{Z}(G) = \{ x \in G | y^x = y \ ( \forall y \in G ) \}

と定義します。 \mathrm{Z}(G) G の部分群となり、アーベル群となります。 G がアーベル群ならば  \mathrm{Z}(G) = G となります。

中心化群

 G の部分集合  H に対して、 H の中心化群を

  •  \mathrm{C}_G(H) = \{ x \in G | y^x = y \ ( \forall y \in H ) \}

と定義します。 \mathrm{C}_G(H) G の部分群となります。 H G の部分群でアーベル群ならば  H \mathrm{C}_G(H) の中心となり、 \mathrm{C}_G(H) H を中心として含む最大の部分群となります。 H G の中心ならば  \mathrm{C}_G(H) = G となります。 \mathrm{Z}(G) = \mathrm{C}_G(G) となります。