エレファントな整数論(4) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

前回の議論を整数に対応するように書き直していきます。

整数の順序による表記

順序集合 $A$ の部分集合 $X$ に対して、任意の $x \in X$ に対して $a \le x$ であるような $a \in A$ が存在するとき $X$ は下に有界、任意の $x \in X$ に対して $a \ge x$ であるような $a \in A$ が存在するとき $X$ は上に有界であると言います。

$Z \ne \varnothing$ を順序集合で

(Z3) $\varnothing \ne X \subseteq Z$ かつ $X$ は下に有界ならば $X$ は最小元を持つ

とします。 $x, y \in Z$ とすると $\{ x, y \}$ が最小元を持つので $Z$ は全順序集合となります。

$Z$ は整数全体を表すものですが、前回と同様ここでは整数の定義とは考えません。整数の定義は後で行います。

さらに

(Z4) $Z$ は上に有界ではない

とします。すると $s: Z \to Z$ を

$s(x) = \min \{ y \in Z \mid x < y \}$

と定義することができます( $\min S$ は $S$ の最小元を表します)。 $x < s(x)$ となります。

$x < y$ ならば $s(x) \le y < s(y)$ となります。同様に $y < x$ ならば $s(y) \le x < s(x)$ となります。よって

(Z5) $s(x) = s(y) \iff x = y$

となります。

(Z6) $x \in Z$ ならば $s(y) = x$ となる $y \in Z$ が存在する

とします。(Z5)より $x$ に $y$ を対応させる写像 $s^{-1}$ を定義することができて、 $s^{-1}$ は $s$ の逆写像となります。

$z \in Z$ とします。 $N = \{ x \in Z \mid z \le x \}$ とおきます(これは自然数全体を表すものとなります)。

前回の議論より

(N1) が以下の条件を満たすならば
- $0 \in X$ 、
- $x \in X \implies s(x) \in X$

が成り立ちます。

$R \subseteq N \times A$ を

$(z, a) \in R$ を満たす $a \in A$ が存在し、
$(x, a) \in R$ ならば $(s(x), b) \in R$ を満たす $b \in A$ が存在する

ような集合とすると、
$X = \{ x \in N \mid (x, a) \in R \ となる\ a \in A \ が存在する \}$
は(N1)の $X$ の条件を満たすので $X = N$ となります。よって
$(x, a), (x, b) \in R \implies a = b$
ならば $R$ によって $(x, a) \in R$ のとき $f(x) = a$ とすると写像 $f: N \to A$ を定義することができます(帰納的定義)。

自然数の定義

$G$ を $Z$ から $Z$ への全単射全体の集合、 $0 \in G$ を $Z$ の恒等写像とします。 $G$ は写像の合成に関して群となり、 $0$ は単位元となります。 $G$ の演算を $+$ と書くことにします。 $\mathbb{Z}$ を $s$ で生成された $G$ の部分群、 $\mathbb{N}$ を $s$ で生成された $G$ の部分モノイドとします。 $\mathbb{Z}$ はアーベル群、 $\mathbb{N}$ は可換なモノイドとなります。 $s$ を $1$ 、 $s^{-1}$ を $-1$ と書きます。(後述)

$f: N \to \mathbb{N}$ を

$f(z) = 0$ 、
$f(s(x)) = 1 + f(x)$

と帰納的に定義することができます。

$f(x)(z) = x$ となるので
$x = y \iff f(x) = f(y)$
が成り立ちます。よって $\mathbb{N}$ に順序 $\le$ を
$x \le y \iff f(x) \le f(y)$
と定義することができ、 $\mathbb{N}$ は(N1)を満たします。

$0 + 1 = 1 = 1 + 0$
$a + 1 = 1 + a$ のとき $a + 1 + 1 = 1 + a + 1$

が成り立つので帰納法により任意の $a \in \mathbb{N}$ に対して $a + 1 = 1 + a$ が成り立ちます。

$a + 0 = a = 0 + a$
$a + b = b + a$ のとき $a + b + 1 = b + a + 1 = b + 1 + a$

が成り立つので帰納法により任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $a + b = b + a$ が成り立ちます。

よって $\mathbb{N}$ は可換なモノイドとなります。

$a \le b$ のとき $c = \min \{ x \in \mathbb{N} \mid a + x \le b \}$ とおくと $a + c \le b < a + c + 1$ となるので $a + c = b$ となります。逆に

$a \le a$
$a \le b$ のとき $a \le b + 1$

より $a + c = b$ を満たす $c \in \mathbb{N}$ が存在すれば $a \le b$ となります。よって
$a \le b \iff a + c = b \ を満たす \ c \in \mathbb{N} \ が存在する$
となります。このとき $c = b - a$ と書きます。

初等整数論入門 Math＆Science (ちくま学芸文庫)

作者:銀林浩
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