群論の計算(13) - 非専門的シンギュラリティー研究所

実数

この議論はガロア理論には必要ないと思われるのですが、代数学の基本定理を説明するために必要なので書いておきます。

有理数の順序

$\mathbb{Q}$ を有理数全体の集合とします。正または $0$ の有理数全体の集合を $\mathbb{Q}^+$ とおきます。 $\mathbb{Q}^+$ の元は正または $0$ の整数 $a$ と正の整数 $b$ で $\frac{a}{b}$ と書くことができるものとなっています。 $ad \le bc$ のときに $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}$ とすることにより $\mathbb{Q}^+$ に全順序 $\le$ を定義することができます。負の有理数についても同様に定義することができるので $\mathbb{Q}$ に全順序 $\le$ を定義することができます。

有理数の距離

$x \in \mathbb{Q}$ に対して $x$ の絶対値 $|x|$ を $x \ge 0$ のとき $|x| = x$ 、 $x \lt 0$ のとき $|x| = - x$ と定義します。 $x, y \in \mathbb{Q}$ に対して $|x+y| \le |x| + |y|$ が成り立ちます(三角不等式)。

写像 $d_\mathbb{Q}: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}^+$ を $d_\mathbb{Q}(x, y) = |x - y|$ と定義します。三角不等式 $d_\mathbb{Q}(x, y)+d_\mathbb{Q}(y, z) \ge d_\mathbb{Q}(x, z)$ が成り立ちます。 $d_\mathbb{Q}$ を距離関数と呼びます。

有理数の開集合

$a \in \mathbb{Q}$ と $\varepsilon \in \mathbb{Q}^+$ に対して $U_\mathbb{Q}(a, \varepsilon) \subseteq \mathbb{Q}$ を

$U_\mathbb{Q}(a, \varepsilon) = \{ x \in \mathbb{Q} \ | \ d_\mathbb{Q}(a, x) \lt \varepsilon \}$

とおきます。

$U \subseteq \mathbb{Q}$ が

任意の $x \in U$ に対して $\varepsilon \in \mathbb{Q}^+$ が存在して $U_\mathbb{Q}(x, \varepsilon) \subseteq U$

であるときは $\mathbb{Q}$ の開集合と呼びます。 $\mathbb{Q}$ の開集合全体の集合を $\mathcal{U}(\mathbb{Q})$ と書くことにします。

有理数のコーシー列

有理数からなる数列 $(a_0, a_1, a_2, \cdots)$ を $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と書くことにします。すべての項が $a$ である数列 $(a, a, a, \cdots)$ を $(a)_{n \in \mathbb{N}}$ と書くことにします。有理数からなる数列全体の集合を $\mathbb{Q}^*$ とします。

$\mathbb{Q}^*$ に加法、乗法を

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} + (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = (a_n + b_n)_{n \in \mathbb{N}}$
$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = (a_n b_n)_{n \in \mathbb{N}}$

と定義します。 $\mathbb{Q}^*$ は体となります。

$\eta : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}^*$ を $\eta ( a ) = (a)_{n \in \mathbb{N}}$ と定義すると体の準同型となります。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^*$ と $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^*$ が

任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $a_n \le b_n$

であるとき $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \le (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と定義します。

有理数からなる数列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^*$ が

任意のに対して自然数が存在して
- 任意の自然数 $i$ 、 $j$ に対して $i \ge n$ かつ $j \ge n$ ならば $d_\mathbb{Q}(a_i, a_j) \lt \varepsilon$

であるときコーシー列と呼びます。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ をコーシー列とすると、

任意のに対して自然数が存在して
- 任意の自然数 $i$ に対して $i \ge n$ ならば $a_i \in U_\mathbb{Q}(a_n, \varepsilon$ )

となります。

有理数からなる数列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と有理数 $a$ に対して、任意の有理数の開集合 $U$ で $a \in U$ であるものに対して自然数 $n$ が存在して

任意の自然数 $i$ に対して $i \ge n$ ならば $a_i \in U$

であるとき $\displaystyle {\lim}_\mathbb{Q} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ と定義します。

$\displaystyle {\lim}_\mathbb{Q}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \bigcap_{\varepsilon \gt 0} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{i \ge n} U(a_i, \varepsilon)$
と定義します。 $\displaystyle {\lim}_\mathbb{Q}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \{ a \}$ のとき $\displaystyle {\lim}_\mathbb{Q} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ となります。

$a \in \mathbb{Q}$ と $\varepsilon \in \mathbb{Q}^+$ に対して $I_\mathbb{Q}(a, \varepsilon) \subseteq \mathbb{Q}$ を

$I_\mathbb{Q}(a, \varepsilon) = \{ x \in \mathbb{Q} \ | \ d_\mathbb{Q}(a, x) \le \varepsilon \}$

とおきます。

$\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_\mathbb{Q}(0, | a_n | ) \subseteq I_\mathbb{Q}(0, \varepsilon)$ を満たす $\varepsilon \in \mathbb{Q}^+$ が存在するとき $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ は有界であると言います。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ をコーシー列とします。 $\varepsilon \gt 0$ をとります。

任意の $i \ge n$ に対して $a_i \in U_\mathbb{Q}(a_n, \varepsilon)$

となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。
$r$ を $|a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{n-1}|, |a_n| + \varepsilon$ の最大値とすると

$\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_\mathbb{Q}(0, | a_n | ) = \bigcup_{i \lt n} I_\mathbb{Q}(0, | a_i | ) \cup \bigcup_{i \ge n} I_\mathbb{Q}(0, | a_i | ) \subseteq I_\mathbb{Q}(0, r)$

となります。よってコーシー列は有界となります。

$\mu : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を順序を保存する写像、すなわち $i \le j$ ならば $\mu(i) \le \mu(j)$ であるような写像とするとき $(a_{\mu(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ を $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ の部分列と言います。コーシー列の部分列はコーシー列となります。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $a_n \ne 0$ であるコーシー列で $0 \not \in {\lim}_\mathbb{Q}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ とします。 $0 \not \in {\lim}_\mathbb{Q}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ から

任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $k \ge n$ が存在して $a_k \not \in U_\mathbb{Q}(0, 2 \varepsilon)$

を満たす $\varepsilon \gt 0$ が存在します。コーシー列であることから

任意の $i,k \ge n$ に対して $a_i \in U_\mathbb{Q}(a_k, \varepsilon)$

となる $n \in \mathbb{N}$ が存在します。 $k \ge n$ が存在して $a_k \not \in U_\mathbb{Q}(0, 2 \varepsilon)$ となります。 $i \ge k$ に対して $a_i \in U_\mathbb{Q}(a_k, \varepsilon)$ となります。よって $a_i \not \in U_\mathbb{Q}(0, \varepsilon)$ となります。

よって $\displaystyle \bigcup_{n \le k} I_\mathbb{Q}(0, \frac{1}{ | a_n | } ) \subseteq I_\mathbb{Q}(0, \frac{1}{\varepsilon})$ となって $(\frac{1}{a_{n+k}})_{n \in \mathbb{N}}$ は有界となります。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 、 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ をコーシー列とすると

$| (a_i + b_i) - (a_j + b_j) | \le | a_i - a_j | + | b_i - b_j |$ 、
$| (-a_i ) - (-a_j) | = | a_i - a_j |$ 、
$| a_i b_i - a_j b_j | = | a_i (b_i - b_j) + (a_i - a_j) b_j | \le | a_i | \ | b_i - b_j | + | a_i - a_j | \ | b_j |$

であることから $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} + (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 、 $-(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 、 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ もコーシー列となります。

$| \frac{1}{a_i} - \frac{1}{a_j} | = \frac{| a_i - a_j|}{|a_i| \ |a_j|}$

であることから $(\frac{1}{a_n})_{n \in \mathbb{N}}$ のある部分列 $(\frac{1}{a_{\mu(n)}})_{n \in \mathbb{N}}$ もコーシー列となります。

実数の構成

有理数のコーシー列全体の集合を $C_\mathbb{Q}$ とおきます。

$\lambda_\mathbb{Q} : C_\mathbb{Q} \to P(C_\mathbb{Q})$ を $\displaystyle \lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ) = \{ (b_n)_{n \in \mathbb{N}} | \lim (a_n - b_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0 \}$ と定義します( $P(C_\mathbb{Q})$ は $C_\mathbb{Q}$ の冪集合)。

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} )$
$(c_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ) \cap \lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} )$ となる $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が存在すれば三角不等式より $\lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ) = \lambda_\mathbb{Q}( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} )$

が成り立つので $\lambda_\mathbb{Q}(C_\mathbb{Q})$ は $C_\mathbb{Q}$ の分類になっています。

$\mathbb{R} = \lambda_\mathbb{Q}(C_\mathbb{Q})$ とおきます。 $\mathbb{R}$ の元を実数と考えることができます。有理数のコーシー列の性質から $\mathbb{R}$ に加減乗除を定義することができて $\mathbb{R}$ は体となります。 $\lambda_\mathbb{Q} \circ \eta : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ は体の単射準同型となります。

これはたとえば有理数のコーシー列 $1, 1.4, 1.41, 1.414, \cdots$ を実数 $\sqrt{2}$ と考えることに当たります。

実数の順序

$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in S$ と $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \in S$ が存在して $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \le (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ となるとき $\lambda_\mathbb{Q}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ) \le \lambda_\mathbb{Q}( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} )$ と定義します。

$\alpha \le \alpha \ (\forall \alpha \in \mathbb{R})$
$\alpha \le \beta \ かつ \ \beta \le \gamma \ ならば \ \alpha \le \gamma \ (\forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R})$

が成り立ちます。

$\alpha \in \mathbb{R}$ 、 $\alpha \not \ge 0$ とします( $\lambda_\mathbb{Q}((0)_{n \in \mathbb{N}})$ を $0$ と書きます)。任意の $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \alpha$ に対して $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \not \ge (0)_{n \in \mathbb{N}}$ となります。 $a_{n_1} \lt 0$ となる $n_1 \in \mathbb{N}$ が存在します。 $n_1 + 1$ から後の部分列もコーシー列となるのでこの部分列も $\alpha$ の元となります。上記の議論と同様に $a_{n_2} \lt 0$ 、 $n_1 \lt n_2$ となる $n_2 \in \mathbb{N}$ が存在します。 $n_k$ が決まったとき $a_{n_{k+1}} \lt 0$ 、 $n_k \lt n_{k+1}$ となる $n_{k+1} \in \mathbb{N}$ をとることができるので、帰納的に $n_1, n_2, \cdots$ をとることができてこの列によって部分列を作ることができます。この部分列も $\alpha$ の元であり、すべての $n_k$ に対して $a_{n_{k}} \lt 0$ であるので $\alpha \le 0$ となります。

この $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} - (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と考えると

$\alpha \not \ge \beta \ ならば \ \alpha \le \beta \ (\forall \alpha \in \mathbb{R})$

が成り立ちます。よって

$\alpha \ge \beta \ または \ \alpha \le \beta \ (\forall \alpha \in \mathbb{R})$

が成り立ちます。

$\alpha \in \mathbb{R}$ 、 $\alpha \ge 0$ 、 $\alpha \le 0$ とします。 $\alpha$ の元 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \ge 0$ と $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \le 0$ が存在します。 $\lim (a_n - b_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0$ であり $0 \le a_n \le a_n - b_n$ であるから　 $\lim (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0$ となり $\alpha = 0$ となります。よってこの $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} - (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ と考えると

$\alpha \ge \beta \ かつ \ \alpha \le \beta \ ならば \ \alpha = 0 \ (\forall \alpha \in \mathbb{R})$

が成り立ちます。

この $\le$ によって $\mathbb{R}$ は全順序集合となります。

実数の距離関数 $d_\mathbb{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ と開集合全体の集合 $\mathcal{U}(\mathbb{R})$ 、 $U_\mathbb{R}(a, \varepsilon)$ を有理数と同様に定義します。

実数のコーシー列

実数のコーシー列を有理数のコーシー列と同様に定義します。実数のコーシー列全体の集合を $C_\mathbb{R}$ とおきます。

$\displaystyle {\lim}_\mathbb{R}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \bigcap_{\varepsilon \gt 0} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{i \ge n} U_\mathbb{R}(a_i, \varepsilon)$
と定義します。 $\displaystyle {\lim}_\mathbb{R}^*(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \{ a \}$ のとき $\displaystyle {\lim}_\mathbb{R} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ と定義します。

$\lambda_\mathbb{R} : C_\mathbb{R} \to P(C_\mathbb{R})$ を $\displaystyle \lambda_\mathbb{R}( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ) = \{ (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \ | \ 0 \in {\lim}_\mathbb{R}^* (a_n - b_n)_{n \in \mathbb{N}} \}$ と定義します。 $\lambda_\mathbb{R}(C_\mathbb{R})$ は $C_\mathbb{R}$ の分類になっています。

$\alpha \in \lambda_\mathbb{R}(C_\mathbb{R})$ をとります。 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \alpha$ を実数のコーシー列とすると、 $\displaystyle {\lim}_\mathbb{R} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \alpha$ となります。

連続関数

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が任意の実数の開集合 $U$ に対して $f^{-1}(U)$ が実数の開集合であるとき $f$ は連続であると言います。

実数の数列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が $\displaystyle {\lim}_\mathbb{R} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = a$ を満たすとします。すなわち任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $n \in \mathbb{N}$ が存在して

任意の $i \ge n$ に対して $a_i \in U_\mathbb{R}(a, \varepsilon)$

が成り立つとします。 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を連続とします。 $\nu \gt 0$ をとると $f^{-1}(U_\mathbb{R}(f(a), \nu))$ は実数の開集合となります。よって　 $U_\mathbb{R}(a, \varepsilon) \subseteq f^{-1}(U_\mathbb{R}(f(a), \nu))$ を満たす $\varepsilon \gt 0$ が存在します。

任意の $i \ge n$ に対して $a_i \in U_\mathbb{R}(a, \varepsilon)$

を満たす $n \in \mathbb{N}$ が存在します。任意の $i \ge n$ に対して $f(a_i) \in f(U_\mathbb{R}(a, \varepsilon)) \subseteq U_\mathbb{R}(f(a), \nu)$ となります。よって $\displaystyle {\lim}_\mathbb{R} (f(a_n))_{n \in \mathbb{N}} = f(a)$ となります。

中間値の定理

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を連続とし $a, b \in \mathbb{R}$ を $a \le b$ 、 $f(a) \le f(b)$ である実数とします。 $f(a) \le r \le f(b)$ となる $\gamma \in \mathbb{R}$ に対して $a \le c \le b$ となる $c \in \mathbb{R}$ が存在して $\gamma = f(c)$ が成り立ちます。

[証明] 数列 $a_1, a_2, \cdots$ 、 $b_1, b_2, \cdots$ 、 $c_1, c_2, \cdots$ を次のように作ります。
まず $a_0 = a$ 、 $b_0 = b$ とおきます。

$c_1 = \cfrac{a_0+b_0}{2}$ とおきます。
$f(c_1) \ge \gamma$ のとき $a_1 = a_0$ 、 $b_1 = c_1$ とおきます。
$f(c_1) \lt \gamma$ のとき $a_1 = c_1$ 、 $b_1 = b_0$ とおきます。

これを繰り返して

$c_{k+1} = \cfrac{a_k+b_k}{2}$ とおきます。
$f(c_{k+1}) \ge \gamma$ のとき $a_{k+1} = a_k$ 、 $b_{k+1} = c_{k+1}$ 、
$f(c_{k+1}) \lt \gamma$ のとき $a_{k+1} = c_{k+1}$ 、 $b_{k+1} = b_k$ と帰納的に定義します。

$(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ はコーシー列なので $c \in \mathbb{R}$ が存在して $c = {\lim}_\mathbb{R} (c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ となります。

$U = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \lt \gamma \}$ 、 $V = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \gt \gamma \}$ とおくと $U$ 、 $V$ は開集合となります。 $f(c) \ne \gamma$ と仮定すると $f(c) \in U \cup V$ となって $c \in f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$ となります。 $f$ が連続であることから $f^{-1}(U)$ 、 $f^{-1}(V)$ は開集合となります。

$c \in f^{-1}(U)$ であるとすると $\varepsilon \gt 0$ が存在して $U_\mathbb{R}(c, \varepsilon) \subseteq f^{-1}(U)$ となります。 $2^n \gt \cfrac{|a-b|}{\varepsilon}$ となる $n$ をとることができて $|a_n - b_n| = \cfrac{|a-b|}{2^n} \lt \varepsilon$ となって $[ a_n, b_n ] \subseteq U_\mathbb{R}(c, \varepsilon) \subseteq f^{-1}(U)$ となります。 $b_n \in f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)$ となって矛盾となります。

$c \in f^{-1}(V)$ としても同様に矛盾となります。よって $f(c) = \gamma$ となります。[証明終わり]

$n$ を奇数、 $f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0$ を実数の関数とします。このとき $f(z) = 0$ を満たす実数 $z$ が存在します。

[証明] $g(x) = \cfrac{f(x) - x^n}{x^{n-1}} = a_{n-1} + \cfrac{a_{n-2}}{x} + \cdots + \cfrac{a_1}{x^{n-2}} + \cfrac{a_0}{x^{n-1}}$ とおきます。 $b = |a_{n-1}| + |a_{n-2}| + \cdots + |a_1| + |a_0|$ とおき $|x| \gt 1$ とすると $|g(x)| \lt |a_{n-1}| + |a_{n-2}| + \cdots + |a_1| + |a_0| = b$ となります。
$- b \lt g(x) \lt b$ 、 $- b \lt \cfrac{f(x) - x^n}{x^{n-1}} \lt b$ 、 $x - b \lt \cfrac{f(x)}{x^{n-1}} \lt x + b$ となります。
$n$ は奇数なので $x^{n-1} \ge 0$ となり $(x - b) x^{n-1} \lt f(x) \lt (x + b) x^{n-1}$ となります。