半環上のフラクタル代数(4) - 非専門的シンギュラリティー研究所

環上の代数の射影極限

(Wikipediaによる)
$(I, \le)$ を有向半順序集合とします。環 $R$ 上の代数の族 $(A_i)_{i \in I}$ と準同型の族 $f_{ij}: A_j → A_i \ (i \le j)$ が $f_{ii}$ は $A_i$ における恒等写像、 $f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk} \ (i \le j \le k)$ であるとき、対 $((A_i)_{i \in I}, (f_{ij})_{i \le j \in I})$ を環 $R$ 上の代数と準同型の $I$ 上の射影系と呼びます。

射影系 $((A_i)_{i \in I}, (f_{ij})_{i \le j \in I})$ の射影極限を
$\displaystyle \varprojlim _{i\in I}A_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}\mid a_{i}=f_{ij}(a_{j}) \ (\forall i\leq j \in I)\right\}$
と定義します。

射影極限 $\displaystyle L = \varprojlim _{i\in I}A_{i}$ は直積の演算で環 $R$ 上の代数になります。

射影極限 $L$ に対して $(a_{i})_{i\in I}$ に $a_i$ を対応させる自然な射影(準同型) $\pi_i: L → A_i$ が存在して $i \le j$ のとき $\pi_i = f_{ij} \circ \pi_j$ が成り立ちます。

射影極限と自然な射影は、普遍性を満たします。すなわち、 $R$ 上の代数 $L'$ と任意の $i \in I$ に対して準同型 $\pi'_i: L' → A_i$ が存在して $i \le j$ のとき $\pi'_i = f_{ij} \circ \pi'_j$ が成り立つならば、準同型 $u: L' \to L$ が存在して、任意の $i \in I$ に対して $\pi'_i = \pi_i \circ u$ が成り立ちます。

例

可換環 $R$ 上の形式冪級数環 $R[[X]]$ は、自然数の全体の集合 $\mathbb{N}$ に通常の順序を入れた $(\mathbb{N},\le)$ で添字付けられた環の族 $A_n = R[X]/X^nR[X]$ と自然な射影 $f_{n,n+j} : R[X]/X^{n+j}R[X]\to R[X]/X^{n}R[X]$ からなる射影系 $((A_i)_{i \in \mathbb{N}}, (f_{ij})_{i \le j \in \mathbb{N}})$ の射影極限となります。

次の例は環上の代数ではない一般の例になります。

$A_i$ を長さ $i$ の有限数列全体からなる集合、 $f_{ij} \ (i \le j)$ を数列を $i$ 項に切り詰める写像とすると、射影系 $((A_i)_{i \in \mathbb{N}}, (f_{ij})_{i \le j \in \mathbb{N}})$ その射影極限は、数列全体の集合となります。