群論の計算(28) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体と自己同型写像(2)

$K$ 、 $L$ は体で $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L$ とします。

$f \in K[X]$ が $L$ で $f = (X - \alpha_1)(X - \alpha_2) \cdots (X - \alpha_n)$ と因数分解されるとします。このとき $K(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ を $f$ の $K$ 上の最小分解体と言います。

$f \in K[X]$ の最小分解体の $K$ 上の自己同型群のことを $f$ の $K$ 上のガロア群と呼びます。最小分解体を $K(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ すると $\operatorname{Gal}(K(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n) / K)$ と表します。

定理 5.23

$K$ 、 $L$ は体で $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L$ とします。 $L$ はある $f \in K[X]$ の $K$ 上の最小分解体とします。 $f$ の $K$ 上のガロア群を $G$ とします。 $G$ の部分群 $H$ によって不変な $L$ の元の集合 $M$ は体になります。これを $H$ の固定体といい、 $L^H$ で表します。

[証明] $\sigma \in G$ をとり $L^\sigma = \{ x \in L \ | \ \sigma(x) = x \}$ とおきます。

$\sigma$ は $L$ の自己同型なので $x, y \in L^\sigma$ とすると $\sigma(x+y) = \sigma(x) + \sigma(y) = x + y$ 、 $\sigma(-x) = - \sigma(x) = - x$ 、 $\sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y) = xy$ 、 $\sigma(1/x) = 1/\sigma(x) = 1/x \ (x \ne 0)$ となって $x + y \in L^\sigma$ 、 $- x \in L^\sigma$ 、 $xy \in L^\sigma$ 、 $1/x \in L^\sigma$ となります。よって $L^\sigma$ は加法に関して $L$ の部分群になり、 $L^\sigma \setminus 0$ は乗法に関して $L \setminus 0$ の部分群になるので $L^\sigma$ は体となります。

よって $\displaystyle L^H = \bigcap_{\sigma \in H} L^\sigma$ は体となります。[証明終わり]

定理 5.24

$K$ 、 $L$ は体で $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L$ とします。 $L$ はある $f \in K[X]$ の $K$ 上の最小分解体とします。 $f$ の $K$ 上のガロア群を $G$ とします。 $L$ の中間体 $M$ のすべての元を不変にする $G$ の元の集合 $H$ は群になります。これを $G$ における $M$ の固定群といい、 $G^M$ で表します。

[証明] $x \in L$ をとり $G^x = \{ \sigma \in G \ | \ \sigma(x) = x \}$ とおきます。

$\sigma, \tau \in G^x$ とすると $\sigma, \tau$ は $L$ の自己同型なので $\sigma ( \tau (x) ) = \sigma(x) = x$ となり $\sigma \circ \tau \in G^x$ が成り立ちます。また $\sigma^{-1} (x) = \sigma^{-1} ( \sigma(x) ) = x$ が成り立つため $G^x$ は群となります。

よって $\displaystyle G^M = \bigcap_{x \in M} G^x$ は群となります。[証明終わり]

$K$ 、 $L$ は体で $K \subseteq L$ とすると $L$ は $K$ 上の代数となります。 $K$ 上の代数 $L$ の自己同型の全体を $\operatorname{Aut}_K L$ と書くことにします。 $\operatorname{Aut}_K L$ は写像の合成に関して群になります。

体の加法だけを考えると、 $L$ は $K$ 上のベクトル空間となります。 $L$ のベクトル空間としての自己同型の全体を $\operatorname{V-Aut}_K L$ と書くことにします。 $\operatorname{V- Aut}_K L$ は体の加法から作られる写像の加法を加法とし、写像の合成を乗法とする $K$ 上の必ずしも可換でなはい代数になり、乗法に関しては群になります。

体の乗法だけを考えると、 $L^\times = L \setminus 0$ はアーベル群となります。 $L^\times$ の群としての自己同型の全体を $\operatorname{G-Aut}_K L^\times$ と書くことにします。 $\operatorname{G- Aut}_K L^\times$ は体の乗法から作られる写像の乗法を加法とし、写像の合成を乗法とする必ずしも可換でなはい体になり、乗法に関しては群になります。