群論の計算(32) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体と自己同型写像(6)

次の定理も流れはだいたい同じように見えます。いったん本の通りにやってみます。

定理 5.31

$L$ を $\mathbb{Q}$ 上の方程式 $h(x) = 0$ の最小分解体とし、 $M$ を $L$ と $\mathbb{Q}$ の任意の中間体とします。このとき、 $L = M(\beta)$ となる $\beta$ が存在します。 $\beta$ を解に持つ $M$ 上の最小多項式を $g(x)$ とすると、 $L$ は $g(x) = 0$ の最小分解体となります。

$g(x) = 0$ の解を $\beta_1 = \beta, \beta_2, \cdots , \beta_m$ とします。 $\sigma_i(\beta) = \beta_i (1 \le i \le m)$ を満たし、 $M$ の元を不変にする $L$ の自己同型写像 $\sigma_i$ が存在して
$\operatorname{Gal}(L/M) = \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \}$
$[ L : M ] = | \operatorname{Gal}(L/M) |$
が成り立ちます。

また、 $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ として、 $G$ における $M$ の固定群を $G^M$ とすると
$\operatorname{Gal}(L/M) = G^M$
が成り立ちます。

[証明] $h$ の根を $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_s$ とすると $L = M(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_s)$ となります。定理 2.5、定理 2.6 (定理 2.5、定理 2.6 は $\mathbb{Q}$ の代わりに $M$ としても成り立つため) より $L = M(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_s) = M(\beta)$ となる $\beta \in L$ が存在します。定理 5.3 (定理 5.3 は $\mathbb{Q}$ の代わりに $M$ としても成り立つため) より $\beta$ の $:M$ 上の最小多項式を $g$ 、その次数を $m$ とすると $[L :M ] = m$ となります。 $L$ の正規性(定理 5.30)により $L$ の元 $\beta$ が根となる $M$ 上の多項式 $g \in M[X]$ の根 $\beta_1 = \beta, \beta_2, \cdots , \beta_m$ はすべて $L$ に含まれます。 $L = M(\beta) \subseteq M(\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_m) \subseteq L$ ですから、 $L = M(\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_m)$ となり、 $L$ は $M$ 上の多項式 $g \in M[X]$ の根の最小分解体となります。

定理 5.7 (定理 5.7 は $\mathbb{Q}$ の代わりに $M$ としても成り立つため) より $L$ に作用する同型写像のうち $M$ の元を不変にする写像は $g$ の根 $\beta$ を共役な根 $\beta_i$ に写します。 $L$ に作用する同型写像 $\sigma_i$ で
$\sigma_i(\beta) = \beta_i \ (1 \le i \le m)$ を満たし、 $M$ の元を不変にするものは $L = M(\beta)$ から $M(\beta_i)$ への同型写像となります。

定理 3.6 (5) (定理 3.6 (5) は $\mathbb{Q}$ の代わりに $M$ としても成り立つため) より $g$ は重根を持たず $\beta_1, \beta_2, \cdots , \beta_m$ はすべて異なります。 $L$ に作用する同型写像 $\sigma_i \ (1 \le i \le m)$ で $\sigma_i(\beta) = \beta_i (1 \le i \le m)$ を満たし、 $M$ の元を不変にするものはちょうど $m$ 個となります。よって $L$ の自己同型写像像で $M$ の元を不変にするものは $m$ 個以下となります。 $L$ の正規性(定理 5.30)により $\beta_1 = \beta, \beta_2, \cdots , \beta_m$ はすべて $L$ に含まれるので $M(\beta_i) \subseteq L = M(\beta)$ であり $M(\beta)$ と $M(\beta_i)$ の次元が同じなので定理 5.16 より $M(\beta) = M(\beta_i)$ となります。同型写像 $\sigma_i \ (1 \le i \le m)$ はすべて $L$ の自己同型写像になります。
$\operatorname{Gal}(L/M) = \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \}$
$| \operatorname{Gal}(L/M) | = m$
$[ L : M ] = | \operatorname{Gal}(L/M) |$
が成り立ちます。

$G = \operatorname{Gal}(L/Q)$ は $L$ に作用するすべての自己同型写像からなる群でしたから $G$ における $M$ の固定群を $G^M$ は $G$ の元のうちで $M$ を固定するすべての自己同型写像からなる群です。一方 $\sigma_i \ (1 \le i \le m)$ は $M$ の元を不変にする $L$ のすべての同型写像なので $G^M \subseteq \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \}$ となりますが $\sigma_i \ (1 \le i \le m)$ はすべて自己同型写像なので $\operatorname{Gal}(L/M) = G^M$ が成り立ちます。[証明終わり]