群論の計算(41) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

3次方程式の冪根による解法で使えるかもしれないので3次の場合を書いておきます。内容は前の項と同じです。

対称式の基本定理(3次の場合)

$K$ を体とします。 $L$ を $K$ 上の多項式環の商体(有理関数体) $L = K(x, y, z)$ とおきます。

$x, y, z$ の対称群 $\operatorname{Sym}(\{x, y, z\})$ の元 $\sigma$ を $K$ 上の代数の同型 $\sigma: L \to L$ に拡張した写像全体の集合を $G$ とします。

$L$ 上の多項式 $f_3 = (X-x) (X-y) (X-z) = X^3 - (x+y+z) X^2 + (xy + yz + zx) X - xyz \in L[X]$ の係数 $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ を $x, y, z$ に関する $3$ 次の基本対称式と呼びます。同様に $f_2 = (X-x) (X-y) = X^2 - (x+y) X^2 + xy \in L[X]$ の係数 $x+y, xy$ を $x, y$ に関する $2$ 次の基本対称式と呼びます。

以下のようにおきます。

$G = G_3 = \operatorname{Sym}(\{x,y,z\})$
$G_2 = \operatorname{Sym}(\{x,y\}) \subseteq G_3$
$G_1 = \operatorname{Sym}(\{x\}) = \{e\} \subseteq G_2$

$L = K_1 = K_2(y) = K(x, y, z) = F_1 = L^{G_1}$
$K_2 = K_3(z) = K(x+y, xy, z) \subseteq F_2 = L^{G_2}$
$K_3 = K(x+y+z, xy+yz+zx, xyz) \subseteq F_3 = L^{G_3}$

帰納法により $F_1 = K_1$ 、 $F_2 = K_2$ 、 $F_3 = K_3$ を示します。

$F_1 = K_{1}$

これは成り立っています。

$F_2 = F_1 \cap F_2 = K_1 \cap F_2 = K_{2}[y] \cap F_2 = K_{2}$

$K_{2}[y] \cap F_2 \subseteq K_{2}$

この証明は以下の $K_{3}[z] \cap F_3 \subseteq K_{3}$ の証明と同様です。

$F_3 = F_2 \cap F_3 = K_2 \cap F_3 = K_{3}[z] \cap F_3 = K_{3}$

$K_{3}[z] \cap F_3 \subseteq K_{3}$

[証明] $K_{3}[z]$ の任意の元 $\alpha$ は $\alpha = a_0 + a_1 z + a_2 z^2$ $(a_0, a_1, a_2 \in K_3)$ と表すことができます。 $\sigma(z) = x, \tau(z) = y$ となる $\sigma, \tau \in G_3$ が存在します。 $\alpha \in F_3$ とすると $\sigma(\alpha) = \tau(\alpha) = \alpha$ なので
$\alpha = \sigma(\alpha) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$
$\alpha = \tau(\alpha) = a_0 + a_1 y + a_2 y^2$
が成り立ちます。よって
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_0 - \alpha \\ a_1 \\ a_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
となります。この行列はヴァンデルモンド行列と呼ばれ、その行列式をヴァンデルモンドの行列式と呼びます。ヴァンデルモンドの行列式は $x, y, z$ がすべて異なるならば $0$ ではありません。よって
$\left( \begin{array}{c} a_0 - \alpha \\ a_1 \\ a_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
が成り立つので $\alpha = a_0 \in K_3$ となります。[証明終わり]