群論の計算(31) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

体と自己同型写像(5)

前回の定理を体上の代数を使って書き直しました。体上の代数を使ったものは補題としています。内容が重複しているようで少し長くなっています。これは今後改善していきたいと思います。

補題 1

$L$ を体 $K$ 上の代数、 $H$ を $L$ の $K$ 上の自己同型の全体 $\operatorname{Aut}_K L$ の群としての有限部分群、 $M = L^H = \{ x \in L \ | \ \sigma(x) = x \ ( \forall \sigma \in H ) \}$ とします。
$a \in L$ とすると、 $h \in M[X]$ と $a = a_1, a_2, \cdots , a_n \in L$ が存在して $L$ 上の多項式として
$h = (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_n)$
となります。

[証明] $H = \{ \sigma_1 = 1, \sigma_2, \cdots , \sigma_{m} \}$ (元の個数は $m$ 個)とします。
$a_i = \sigma_i(a)$ ( $i = 1, 2, \cdots , n$ )、 $h = (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_n) \in L[X]$ とおくと $h$ の係数は $a_1, a_2, \cdots , a_n$ に関する対称式となるので $M$ の元となって $h \in M[X]$ となります。
$\varphi : M[X] \to L[X]$ を $X$ に $X$ を代入する $M$ 上の代数の準同型とすると、この $h \in M[X]$ に対して $\varphi(h)$ は $h$ を $L$ 上の多項式として見たものとなり $\varphi(h) = (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_n)$ となります。[証明終わり]

補題 2

$L$ を体 $K$ 上の代数、 $H$ を $L$ の自己同型の全体 $\operatorname{Aut}_K L$ の群としての有限部分群、 $M = L^H = \{ x \in L \ | \ \sigma(x) = x \ ( \forall \sigma \in H ) \}$ とします。
$a \in L$ とし、 $\psi : M[X] \to L$ を $a$ を代入する $M$ 上の代数の準同型とします。
$g \in M[X]$ が $\psi^{-1}(0) = (g)$ ならば $g$ の任意の根は $L$ に含まれます。

[証明] 補題 1 の $h \in M[X]$ は $a = a_1$ なので $h(a) = 0$ となり、 $h \in \psi^{-1}(0) = (g)$ となります。 $h = gq$ となる $q \in M[X]$ が存在します。
$\varphi(h) = \varphi(g) \varphi(q)$ となって
$\varphi(h) = (X - a_1) (X - a_2) \cdots (X - a_n)$ であることから $\varphi(g)$ の根 $b$ は $b \in \{ a_1, a_2, \cdots , a_n \} \subseteq L$ となり $L$ に含まれます。 $g$ の根は $\varphi(g)$ の根と同じものなので $L$ に含まれます。[証明終わり]

定理 5.26 より以下の定理が成り立ちます。

定理 5.27

$\mathbb{Q}$ を含む体 $K$ 上のある多項式の最小分解体 $L$ は、ある $\theta \in L$ を用いて $L = K(\theta)$ と表せます。

定理 5.28

$K$ を $\mathbb{Q}$ を含む体とします。 $K$ 上のある多項式の最小分解体を $L$ 、ガロア群を $G$ とするとき $[ L : K ] = | G |$ が成り立ちます。

[証明] 定理 5.27 より $L = K(\theta)$ となる $\theta \in L$ が存在します。 $\theta$ の $K$ 上の最小多項式を $g$ 、その次数を $m$ とします。定理 5.2 より $g$ は既約多項式となります。定理 3.6 (5) より $g$ は $m$ 個の異なる根 $\theta_1 = \theta, \theta_2, \cdots , \theta_m$ を持ちます。定理 5.10 より $L$ に作用する同型写像は $\sigma_i(\theta) = \theta_i \ (i = 1, 2, \cdots , m)$ を満たすもので $m$ 個となります。

$L$ は $K$ 上の多項式 $f$ の最小分解体とします。 $f$ の根を $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ とすると $L = K(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ となります。 $\theta$ は $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ の多項式で $\theta = h(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)$ と書くことができます。定理 5.6 と同様に $\sigma_i(\theta) = \sigma_i(h(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n)) = h(\sigma_i(\alpha_1,) \sigma_i(\alpha_2), \cdots , \sigma_i(\alpha_n))$ となります。定理 5.8 より $\sigma_i(\alpha_1,) \sigma_i(\alpha_2), \cdots , \sigma_i(\alpha_n)$ は $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$ を入れ替えたものなので、 $\sigma_i(\theta) = \theta_i \ (i = 1, 2, \cdots , m)$ は最小分解体 $L$ に含まれます。定理 5.17 より $\sigma_i \ (i = 1, 2, \cdots , m)$ はすべて $L$ の自己同型写像となります。 $G = \operatorname{Gal}(L/K) = \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \}$ となり $|G| = m$ となります。

一方 $\theta$ の $K$ 上の最小多項式 $g$ の次数が $m$ なので定理 5.3 より $[ L : K ] = m$ となります。

よって $[ L : K ] = |G|$ となります。[証明終わり]

この定理の証明と同様の流れで以下の補題が成り立ちます。

補題 3

$K$ 、 $L$ は体で、 $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L$ を満たし $L$ はある $K$ 上の多項式の最小分解体になっているものとします。 $H = \operatorname{Aut}_K L$ とおくと $K = L^H$ となります。

定理 5.28 より $H = \{ \sigma_1, \sigma_2, \cdots , \sigma_m \}$ となります。

$x \in L^H$ は $\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m$ の多項式で $x = h(\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m)$ と書くことができます。定理 5.6 と同様に
$\sigma_i(x) = \sigma_i(h(\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m)) = h(\sigma_i(\theta_1,) \sigma_i(\theta_2), \cdots , \sigma_i(\theta_m))$
となります。

$\displaystyle y = mx = \sum_{i=1}^m \sigma_i(x) = \sum_{i=1}^m h(\sigma_i(\theta_1,) \sigma_i(\theta_2), \cdots , \sigma_i(\theta_m))$
は $\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m$ の対称式となって、対称式の基本定理より基本対称式の多項式となります。 $\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m$ は $\theta$ の $K$ 上の最小多項式 $g$ の根なので $\theta_1, \theta_2, \cdots , \theta_m$ の基本対称式は $K$ の元となります。よって $y \in K$ となって $x = \cfrac{y}{m} \in K$ となります。[証明終わり]

定理 5.30

$K$ 、 $L$ は体で、 $\mathbb{Q} \subseteq K \subseteq L$ を満たし $L$ はある $K$ 上の多項式の最小分解体になっているものとします。 $L$ の任意の元 $b$ をとり、その $K$ 上の最小多項式を $g$ とします。このとき $g$ の任意の根は $L$ に含まれます。

[証明] $H = \operatorname{Aut}_K L$ とおくと補題 3 より $K = L^H$ となります。
$b \in L$ の最小多項式 $g$ は補題 2 の条件を満たすので、 $g$ の任意の根は $L$ に含まれます。[証明終わり]