集合の計算(8) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

「群論の計算(2)」の続きを見ていきます。

ここでは写像の像と逆像の記法は通常の記法に戻します。写像の定義が明示的に書かれていないため主張がわかりにくいという点を解消するために書いたものですが、あまりわかりやすくなっていないので、少し書き直します。少し間違っていると思われる部分もあるので修正します。

正規部分群

群 $G$ の部分群 $H$ が、任意の $G$ の元 $x$ に対して $xH = Hx$ を満たすとき $H$ を $G$ の正規部分群と呼び $H \lhd G$ と書きます。正規部分群の左剰余類と右剰余類は一致するためこれを剰余類と呼びます。剰余類全体の集合を $G/H$ と書きます。

$G$ がアーベル群のときはすべての部分群が正規部分群となります。 $G$ 自身と単位元だけを元とする集合 $\{ e \}$ は $G$ の正規部分群となります。それ以外の正規部分群を持たない群を単純群と呼びます。

$H \lhd G$ のとき $x, y \in G$ に対して

$(xH)(yH) = xyHH = xyH$
$(eH)(xH) = xHH = xH$ 、 $(xH)(eH) = xHH = xH$
$(x^{-1}H)(xH) = x^{-1}xHH = H$ 、 $(xH)(x^{-1}H) = xx^{-1}HH = H$

が成り立ちます。したがって $G/H$ は $(xH)(yH) = (xy)H$ を積、 $eH = H$ を単位元とする群になります。 $G/H$ を剰余群と呼びます。

群の準同型

この節では写像の像と逆像の記法は通常の記法に戻します。すなわち写像 $f: X \to Y$ に対して

$X' \subseteq X$ に対して $f(X') = \{ f(x) | x \in X' \}$
$y \in Y$ に対して $f^{-1}(y) = \{ x \in X | f(x) = y \}$
$Y' \subseteq Y$ に対して $f^{-1}(Y') = \{ x \in X | f(x) \in Y'\}$

と書きます。

群 $G$ から群 $H$ への写像 $f: G \to H$ が積を保存するとき、すなわち

任意の $x, y \in G$ に対して $f(xy) = f(y)f(y)$

が成り立つとき $f$ を群の準同型と呼びます。 $f$ が全単射のとき同型と呼び、同型が存在するとき $G$ と $H$ は同型であると言います。

任意の $G$ の部分集合 $S$ と $T$ に対して $f(ST) = f(S)f(T)$

が成り立ちます。

$G$ の単位元を $e_G$ と書くことにします。 $f(e_G)^2 = f(e_G)$ が成り立つので $f(e_G)$ は $H$ の単位元となります。 $e_H = f(e_G)$ とおきます。 $x \in G$ に対して $f(x^{-1})f(x) = f(x^{-1}x) = f(e_G) = e_H$ 、 $f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e_G) = e_H$ となるので $f(x^{-1})$ は $f(x)$ の逆元となります。よって

任意の $G$ の部分集合 $S$ に対して $f(S^{-1}) = f(S)^{-1}$

が成り立ちます。

群の準同型の像

$G$ の $f$ による像 $f(G)$ を $\mathrm{Im} \ f$ と書きます。

$f(G)^2 = f(G)$
$f(G)^{-1} = f(G)$

が成り立ちます。よって $f(G)$ は $H$ の部分群となります。(1)

群の準同型の核

$H$ の単位元 $e_H$ の $f$ による逆像 $f^{-1}(e_H)$ を $f$ の核と呼び $\mathrm{Ker} \ f$ と書きます。 $N = \mathrm{Ker} \ f$ とおきます。 $e_G \in N$ となります。 $E = \{e_H\}$ とおきます。 $f(N^2) = f(N)^2 = E^2 = E$ 、 $f(N^{-1}) = f(N)^{-1} = E^{-1} = E$ が成り立つため $N$ は $G$ の部分群となります。任意の $x \in G$ に対して $f(x^{-1}Nx) = f(x^{-1})f(N)f(x) = f(x^{-1})Ef(x) = \{ f(x^{-1})e_Hf(x) \} = E$ となって $x^{-1}Nx \subseteq N$ 、 $x^{-1}Nx = N$ 、 $Nx = xN$ となります。よって $N$ は $G$ の正規部分群となります。(2)

群の剰余類

前回の「群の剰余類」の項目の写像に名前をつけて書き直します。

群 $G$ の部分群 $K$ と $G$ の元 $x$ に対して $xK$ を $G$ における $K$ の左剰余類と呼びます。 $Kx$ を $G$ における $K$ の右剰余類と呼びます。

$C_K: G \to \mathfrak{P}(G)$ を $C_K(x) = xK$ と定義します。 $C_K$ の像 $C_K(G)$ は左剰余類全体の集合となります。これを $G/K$ とおきます。 $G/K = \{ xK \mid x \in G \}$ となります。 $xK$ は $C_K$ に付随する同値関係による $x \in X$ の同値類となり、 $G/K$ は $G$ の分類となります。

モノイドの準同型

集合 $M$ に対して $\eta_M: M \to \mathfrak{P}(M)$ を $\eta_M(x) = \{ x \}$ と定義します。 $\eta_M(x)$ は単射となります。

$f: M \to N$ のとき $\eta_N(f(x)) = \{f(x)\} = \overline{f}(\{x\}) = \overline{f}(\eta_M(x))$ より以下は可換となります。
$\require{AMScd} \begin{CD} M @> f >> N \\ @V \eta_M VV @VV \eta_N V \\ \mathfrak{P}(M) @>> \overline{f} > \mathfrak{P}(N) \end{CD}$
$\overline{f}: \mathfrak{P}(M) \to \mathfrak{P}(N)$ 、 $\overline{f^{-1}}: \mathfrak{P}(N) \to \mathfrak{P}(M)$ を

$\overline{f}(A) = \{ f(x) \mid x \in A \}$
$\overline{f^{-1}}(U) = \{ x \in G \mid f(x) \in U \}$

と定義します。

$M$ をモノイドとすると $\mathfrak{P}(M)$ は「部分集合の積」に関するモノイドとなります*1。 $\eta_M$ はモノイドの準同型となります。

$f: M \to N$ をモノイドの準同型とします。
$\begin{eqnarray*} \overline{f}(AB) & = & \{ f(xy) \mid x \in A, y \in B \} \\ & = & \{ f(x)f(y) \mid x \in A, y \in B \} \\ & = & \overline{f}(A) \overline{f}(B) \\ \end{eqnarray*}$
が成り立つので $\overline{f}$ はモノイドの準同型となります。

第一同型定理

$f: G \to H$ を群の準同型とします。
$\begin{eqnarray*} (\overline{f} \circ C_{\mathrm{Ker}f})(x) & = & \overline{f}(C_{\mathrm{Ker}f}(x)) \\ & = & \overline{f}(x\mathrm{Ker}f) \\ & = & \overline{f}( \eta_G(x) \overline{f^{-1}}(\eta_G(e_H)) ) \\ & = & \overline{f}( \eta_G(x) ) \overline{f}( \overline{f^{-1}}(\eta_G(e_H)) ) \\ & = & \overline{f}( \eta_G(x) ) \eta_G(e_H) \\ & = & \overline{f}( \eta_G(x) ) \\ & = & (\overline{f} \circ \eta_G)(x) \\ & = & (\eta_H \circ f)(x) \\ \end{eqnarray*}$
よって以下は可換となります。
$\require{AMScd} \begin{CD} G @> f >> H \\ @V C_{\mathrm{Ker}f} VV @VV \eta_H V \\ \mathfrak{P}(G) @>> \overline{f} > \mathfrak{P}(H) \end{CD}$
(1)より

$\overline{G} = \overline{C_{\mathrm{Ker}f}}(G)$ は $\mathfrak{P}(G)$ の部分群
$\overline{H} = \overline{\eta_H}(\overline{f}(G))$ は $\mathfrak{P}(G)$ の部分群

となり、 $\overline{f}$ の $\overline{G}$ への制限 $\overline{f}^\downarrow$ はモノイドの準同型なので群の準同型となります。 $\overline{f}^\downarrow$ は全射となります。
$\begin{eqnarray*} (\overline{f^{-1}} \circ \overline{f}^\downarrow \circ C_{\mathrm{Ker}f})(x) & = & (\overline{f^{-1}} \circ \overline{f} \circ C_{\mathrm{Ker}f})(x) \\ & = & (\overline{f^{-1}} \circ \eta_H \circ f)(x) \\ & = & \overline{f^{-1}}(\{f(x)\}) \\ & = & \{ y \in G \mid f(y) = f(x) \} \\ & = & \{ y \in G \mid y \in x \mathrm{Ker}f \} \\ & = & x \mathrm{Ker}f \\ & = & C_{\mathrm{Ker}f} (x) \\ \end{eqnarray*}$
となって $\overline{f}^\downarrow$ は単射となるので、 $\overline{G}$ と $\overline{H}$ は同型となります。

(1)より $\overline{f}(G)$ は $H$ の部分群であり、 $\overline{\eta_H}$ の $\overline{f}(G)$ への制限 $\overline{\eta_H}^\downarrow$ はモノイドの準同型なので群の準同型となります。 $\overline{\eta_H}^\downarrow$ は全単射なので $\overline{f}(G)$ と $\overline{H}$ は同型となります。よって $\overline{f}(G)$ と $\overline{G}$ は同型となります。(3)