非専門的シンギュラリティー研究所

無限に動き続けるシステムを表す方法を AI なども使って考えていきます。

半環上のフラクタル代数(3)

環上の加群

R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。アーベル群 M とスカラー乗法 \mu: R \times M \to M が以下の条件を満たすとき M を R 上の加群と呼びます( \mu(r,x) を rx と書きます)。

  • r(x + y) = rx + ry \ (\forall r \in R, \forall x, y \in M)
  • (r + s)x = rx + sx \ (\forall r, s \in R, \forall x \in M)
  • (rs)x = r(sx) \ (\forall r, s \in R, \forall x \in M)
  • 1_R x = x \ (\forall x \in M)

R が体のとき R 上のベクトル空間と呼びます。

M が R 上の加群であるとき、 R の元 a に対して f_a: M \to M を f_a(x) = ax と定義することができます。 f_a はアーベル群の準同型となります。アーベル群 M の自己準同型全体の集合 E = \operatorname{End}_\mathrm{G} M は環となります。 \varphi: R \to E を \varphi(a) = f_a と定義すると \varphi: R \to E は環の準同型となります。

逆に環 R からアーベル群 M の自己準同型全体の集合への環の準同型があれば、 M は R 上の加群となります。

\mathbb{Z} を整数全体の環とします。アーベル群 M の自己準同型全体の集合を E とし、 \varphi: \mathbb{Z} \to E を \varphi(n) = n \cdot 1 と定義すると \varphi: \mathbb{Z} \to E は環の準同型となります。よって M は \mathbb{Z} 上の加群となります。

環上の代数

R を自明ではない単位元を持つ可換環、 A を R 上の加群とします。双線型な写像 \lambda: A \times A \to A、すなわち 任意の a, b \in R と任意の x, y, z \in A に対して \lambda(ax+by,z) = a\lambda(x,z)+b\lambda(y,z)、 \lambda(z,ax+by) = a\lambda(z,x)+b\lambda(z,y) であるものが存在するとき A ( A と \lambda の組)を R 上の代数と呼び、 \lambda を A の乗法と呼びます。

R 上の代数 A が乗法に関して半群であるとき(乗法が結合法則を満たすとき) A を結合代数と呼びます。このとき乗法 \lambda(x,y) を x \cdot y または xy のように書きます。 R 上の結合代数 A が乗法の単位元を持つとき A を単位元を持つ結合代数と呼びます(単位元を 1 と書きます)。ここでは単位元を持つ結合代数を単に代数と呼ぶことにします。 R 上の代数 A が乗法に関して可換であるとき可換な代数と呼びます。

R 上の代数 A は乗法と加群の加法に関して環となります。乗法が可換であるとき可換環となります。 \psi: R \to A、 \psi(a) = a \cdot 1 は環の準同型となります。

R、 A を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \psi: R \to A があるとき A は R 上の代数となります。

可換モノイドの自己準同型

アーベル群の自己準同型と同様に、可換モノイド G の自己準同型全体の集合 E = \operatorname{End}_\mathrm{G} G は、以下のように演算を定義すると半環となります。

  • 加法の定義 : G は可換なので定義できます。
    • 加法の結合法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 加法の単位元の存在 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 加法の交換法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。

よって (E,+) は可換モノイドとなります。

  • 乗法の定義と結合法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 分配法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 乗法の単位元の存在 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。

よって E は積 \cdot と和 + に関して半環となります。 G \ne \{e\} ならば E は自明ではない単位元を持つ半環となります。

自明ではない単位元を持つ半環 R の元 a に対して f_a: R \to R を f_a(x) = ax と定義することができます。 f_a は可換モノイドの準同型となります。可換モノイド R の自己準同型全体の集合を E = \operatorname{End}_\mathrm{G} R とすると、 \varphi: R \to E を \varphi(a) = f_a と定義すると、環の場合と同様に、 \varphi: R \to E は半環の準同型となります。

半環上のフラクタル加群

アーベル群 M の自己準同型全体の集合を E とします。 R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \varphi: R \to E があるとき M は R 上の加群となります。これを半環に一般化したものを考えます。

可換モノイド N の自己準同型全体の集合を F とします。 S を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。半環の準同型 \varphi: S \to E があるとき M を S 上の加群と呼ぶことにします。半環の準同型 \psi: S \to F があるとき N を S 上のフラクタル加群と呼ぶことにします。

半環上のフラクタル代数

A、 R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \varphi: R \to A があるとき A は R 上の代数となります。これを半環に一般化したものを考えます。

B を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。 S を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。半環の準同型 \varphi: S \to A があるとき A を S 上の代数と呼ぶことにします。半環の準同型 \psi: S \to B があるとき B を S 上のフラクタル代数と呼ぶことにします。