エレファント・ビジュアライザー調査記録

ビジュアルプログラミングで数式の変形を表すことを考えていくブロクです。

半環上のフラクタル代数(3)

環上の加群

R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。アーベル群 M とスカラー乗法 \mu: R \times M \to M が以下の条件を満たすとき M を R 上の加群と呼びます( \mu(r,x) を rx と書きます)。

  • r(x + y) = rx + ry \ (\forall r \in R, \forall x, y \in M)
  • (r + s)x = rx + sx \ (\forall r, s \in R, \forall x \in M)
  • (rs)x = r(sx) \ (\forall r, s \in R, \forall x \in M)
  • 1_R x = x \ (\forall x \in M)

R が体のとき R 上のベクトル空間と呼びます。

M が R 上の加群であるとき、 R の元 a に対して f_a: M \to M を f_a(x) = ax と定義することができます。 f_a はアーベル群の準同型となります。アーベル群 M の自己準同型全体の集合 E = \operatorname{End}_\mathrm{G} M は環となります。 \varphi: R \to E を \varphi(a) = f_a と定義すると \varphi: R \to E は環の準同型となります。

逆に環 R からアーベル群 M の自己準同型全体の集合への環の準同型があれば、 M は R 上の加群となります。

\mathbb{Z} を整数全体の環とします。アーベル群 M の自己準同型全体の集合を E とし、 \varphi: \mathbb{Z} \to E を \varphi(n) = n \cdot 1 と定義すると \varphi: \mathbb{Z} \to E は環の準同型となります。よって M は \mathbb{Z} 上の加群となります。

環上の代数

R を自明ではない単位元を持つ可換環、 A を R 上の加群とします。双線型な写像 \lambda: A \times A \to A、すなわち 任意の a, b \in R と任意の x, y, z \in A に対して \lambda(ax+by,z) = a\lambda(x,z)+b\lambda(y,z)、 \lambda(z,ax+by) = a\lambda(z,x)+b\lambda(z,y) であるものが存在するとき A ( A と \lambda の組)を R 上の代数と呼び、 \lambda を A の乗法と呼びます。

R 上の代数 A が乗法に関して半群であるとき(乗法が結合法則を満たすとき) A を結合代数と呼びます。このとき乗法 \lambda(x,y) を x \cdot y または xy のように書きます。 R 上の結合代数 A が乗法の単位元を持つとき A を単位元を持つ結合代数と呼びます(単位元を 1 と書きます)。ここでは単位元を持つ結合代数を単に代数と呼ぶことにします。 R 上の代数 A が乗法に関して可換であるとき可換な代数と呼びます。

R 上の代数 A は乗法と加群の加法に関して環となります。乗法が可換であるとき可換環となります。 \psi: R \to A、 \psi(a) = a \cdot 1 は環の準同型となります。

R、 A を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \psi: R \to A があるとき A は R 上の代数となります。

可換モノイドの自己準同型

アーベル群の自己準同型と同様に、可換モノイド G の自己準同型全体の集合 E = \operatorname{End}_\mathrm{G} G は、以下のように演算を定義すると半環となります。

  • 加法の定義 : G は可換なので定義できます。
    • 加法の結合法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 加法の単位元の存在 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 加法の交換法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。

よって (E,+) は可換モノイドとなります。

  • 乗法の定義と結合法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 分配法則 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。
    • 乗法の単位元の存在 : アーベル群の自己準同型の場合と同様に成り立ちます。

よって E は積 \cdot と和 + に関して半環となります。 G \ne \{e\} ならば E は自明ではない単位元を持つ半環となります。

自明ではない単位元を持つ半環 R の元 a に対して f_a: R \to R を f_a(x) = ax と定義することができます。 f_a は可換モノイドの準同型となります。可換モノイド R の自己準同型全体の集合を E = \operatorname{End}_\mathrm{G} R とすると、 \varphi: R \to E を \varphi(a) = f_a と定義すると、環の場合と同様に、 \varphi: R \to E は半環の準同型となります。

半環上のフラクタル加群

アーベル群 M の自己準同型全体の集合を E とします。 R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \varphi: R \to E があるとき M は R 上の加群となります。これを半環に一般化したものを考えます。

可換モノイド N の自己準同型全体の集合を F とします。 S を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。半環の準同型 \varphi: S \to E があるとき M を S 上の加群と呼ぶことにします。半環の準同型 \psi: S \to F があるとき N を S 上のフラクタル加群と呼ぶことにします。

半環上のフラクタル代数

A、 R を自明ではない単位元を持つ可換環とします。環の準同型 \varphi: R \to A があるとき A は R 上の代数となります。これを半環に一般化したものを考えます。

B を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。 S を自明ではない単位元を持つ可換半環とします。半環の準同型 \varphi: S \to A があるとき A を S 上の代数と呼ぶことにします。半環の準同型 \psi: S \to B があるとき B を S 上のフラクタル代数と呼ぶことにします。