エレファントな整数論(14) - エレファント・コンピューティング調査報告

「半環上のフラクタル代数(5) - エレファント・コンピューティング調査報告」で環上のモノイド代数について説明しましたが、追加も含めて再び書いておきます。

環上のモノイド代数(の半環版)

$R$ を単位元を持つ可換半環、 $M$ をモノイドとします。
$R[M] = \{ f \mid f : M \to R, \ \{ x \in M \mid f(x) \ne 0 \} は有限集合 \}$
とおきます。 $R[M]$ に加法、乗法と呼ばれる二項演算

$+: R[M] \times R[M] \to R[M]$
$\cdot: R[M] \times R[M] \to R[M]$ ( $f \cdot g$ を $fg$ と書くこともあります)

を

$(f + g) (x) = f(x) + g(x)$
$\displaystyle (fg) (x) = \sum_{x=yz, f(y) \ne 0, g(z) \ne 0} f(y) g(z)$

と定義すると、 $R[M]$ は単位元を持つ可換半環となります。*1

環上の自由加群(の半環版)

単位元を持つ可換半環 $R$ と集合 $X$ に対して
$R[(X)] = \{ f \mid f : X \to R, \ \{ x \in X \mid f(x) \ne 0 \} は有限集合 \}$
と書くことにします。
とおきます。 $R[(X)]$ の加法

$+: R[(X)] \times R[(X)] \to R[(X)]$

とスカラー乗法

$\cdot: R \times R[(X)] \to R[(X)]$ ( $a \cdot f$ を $af$ と書くこともあります)

を

$(f + g) (x) = f(x) + g(x)$
$(af) (x) = af(x)$

と定義します。 $R[(X)]$ は加法に関して可換モノイドとなります。*2

環上の自由加群の元の分解(の半環版)

$\varphi: X \to R[(X)]$ を $x, y \in X$ に対して
$\varphi(x)(y) = \begin{cases} 1 & (x = y \ のとき) \\ 0 & (x \ne y \ のとき) \end{cases}$
とします。

$x = y$ ならば

任意の $z$ に対して「 $x = z \iff y = z$ 」

が成り立ちます。逆に

任意の $z$ に対して「 $x = z \iff y = z$ 」

ならば

$x = y \iff y = y$

となるので $x = y$ となります。よって $x = y$ であることと

任意の $z$ に対して「 $x = z \iff y = z$ 」

であることは同値となります。

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \varphi(y) & \iff & 任意の \ z \ に対して「 \varphi(x)(z) = \varphi(y)(z) 」\\ & \iff & 任意の \ z \ に対して「 \varphi(x)(z) = 1 \iff \varphi(y)(z) = 1 」\\ & \iff & 任意の \ z \ に対して「 x = z \iff y = z 」\\ & \iff & x = y \\ \end{eqnarray*}$
となって $\varphi$ は単射となります。

$f \in R[(X)]$ に対して $X_f = \{ x \in X \mid f(x) \ne 0 \}$ とおくと $X_f$ は有限集合となります。 $X_f = \{x_1, x_2, \cdots , x_n\}$ とおきます。 $g = f(x_1) \varphi(x_1) + f(x_2) \varphi(x_2) + \cdots + f(x_n) \varphi(x_n)$ とおくと

$x_i \in X_f$ のとき $g(x_i) = f(x_i) \varphi(x_i)(x_i) = f(x_i)$
$y \notin X_f$ のとき $g(y) = 0$

となって $g = f$ となります、よって
$f = f(x_1) \varphi(x_1) + f(x_2) \varphi(x_2) + \cdots + f(x_n) \varphi(x_n)$
となります。

$M$ を可換モノイド、 $\psi: X \to M$ とします。 $\bar{\psi}: \mathbb{N}[(X)] \to \mathbb{N}[M]$ を $\bar{\psi}(f) = f(x_1) \psi(x_1) + f(x_1) \psi(x_1) + \cdots + f(x_n) \psi(x_n)$ と定義すると $\bar{\psi}$ は可換モノイドの準同型となります。

環上の自由加群の帰納的定義(の半環版)

$\varphi: X \to \mathbb{N}[(X)]$ を $x, y \in X$ に対して
$\varphi(x)(y) = \begin{cases} 1 & (x = y \ のとき) \\ 0 & (x \ne y \ のとき) \end{cases}$
とします。 $\varphi(X) \cup \{0\} \subseteq M \subseteq \mathbb{N}[(X)]$ とし、

任意の $f, g \in M$ に対して $f + g \in M$

とします。 $x \in X$ に対して $\{ n \in \mathbb{N} \mid n \varphi(x) \notin M \} \ne \varnothing$ とすると $m = \min\{ n \in \mathbb{N} \mid n \varphi(x) \notin M \}$ が存在します。 $0 \in M$ より $m > 0$ となり、 $(m - 1) \varphi(x) \in M$ 、 $m \varphi(x) \notin M$ となりますが、 $\varphi(x) \notin M$ となって矛盾となります。よって $\{ n \varphi(x) \mid n \in \mathbb{N} \} \subseteq M$ となります。

よって $M = \mathbb{N}[(X)]$ となります。

自由生成可換モノイドの普遍性

$\varphi: M \to \mathbb{N}[M]$ を $x, y \in M$ に対して
$\varphi(x)(y) = \begin{cases} 1 & (x = y \ のとき) \\ 0 & (x \ne y \ のとき) \end{cases}$
とします。 $x \in M$ に対して $\{ n \in \mathbb{N} \mid n \varphi(x) \notin \varphi(M) \} \ne \varnothing$ とすると $m = \min\{ n \in \mathbb{N} \mid n \varphi(x) \notin \varphi(M) \}$ が存在します。 $0 \in \varphi(M)$ より $m > 0$ となり、 $(m - 1) \varphi(x) \in \varphi(M)$ 、 $m \varphi(x) \notin \varphi(M)$ となりますが、 $\varphi(x) \notin \varphi(M)$ となって矛盾となります。よって $\{ n \varphi(x) \mid n \in \mathbb{N} \} \subseteq \varphi(M)$ となります。

よって $\varphi(M) = \mathbb{N}[M]$ となります。

$M$ を可換モノイド、 $\psi: X \to M$ とします。 $\bar{\psi}: \mathbb{N}[(X)] \to M$ を $\bar{\psi}(f) = f(x_1) \psi(x_1) + f(x_1) \psi(x_1) + \cdots + f(x_n) \psi(x_n)$ と定義すると $\bar{\psi}$ は可換モノイドの準同型となります。

$R$ が環で $M$ が $X = \{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$ で自由生成された可換モノイドのとき、 $R[M]$ は $R$ 上の多項式環 $R[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ となります。 $R[x_1, x_2, \cdots, x_n] = R[\mathbb{N}^n] = R[\mathbb{N}[(X)]]$ となります。

*1: $R$ が環のとき $R[M]$ は $R$ 上の代数となります。 $R[M]$ を $R$ 上のモノイド代数と呼びます。

*2: $R$ が環のとき $R[(X)]$ は $X$ で自由生成された $R$ 上の加群となります。