コーシー・リーマンの方程式
定義(全微分可能)
の開集合
と
に対して、写像
は
を満たす、
が存在するとき
において全微分可能であると言います。
が
の近傍で
級ならば
は
で全微分可能となります。
証明 、
は連続だから
に対して適当な
をとると
とすることができます。 は
の近傍で偏微分可能だから平均値の定理より
が存在して
となります。
より となって
は
で全微分可能となります。証明終わり
が
が
で全微分可能でコーシー・リーマンの方程式を満たすならば
は
で微分可能となります。
証明 が
で全微分可能なので
とおくと
となります。コーシー・リーマンの方程式より とすると
となります。 のとき
より
となり は
で微分可能となります。証明終わり
この証明はだいたい本に書いてある通りです。これをよく見てみると積分のことがわかってくるらしいですが(そんなことが本に書いてありました)、今のところ何も見えていません。もう少し見ていきたいと思います。
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