エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

エレファントな関数論(3)

コーシー・リーマンの方程式

定義(全微分可能)

 \mathbb{R}^2 の開集合  U (a, b) \in U に対して、写像  f: U \to \mathbb{R}
 f(x, y) = f(a, b) + \alpha(x - a) + \beta(y - b) + \varepsilon(x, y)
 \displaystyle  \lim_{(x,y)\to(a,b)} \cfrac{\varepsilon(x, y)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}} = 0
を満たす \alpha, \beta \in \mathbb{R} \varepsilon: U \to \mathbb{R}^2 が存在するとき  (a, b) において全微分可能であると言います。

 f(x, y) (a, b) の近傍で  C^1 級ならば  f(x, y) (a, b) で全微分可能となります。

証明  f_x f_y は連続だから  \varepsilon > 0 に対して適当な  \delta > 0 をとると
 |h| < \delta, |k| < \delta \implies |f_x(a+h,b+k)-f_x(a,b)| < \cfrac{\varepsilon}{2},  |f_y(a+h,b+k)-f_y(a,b)| < \cfrac{\varepsilon}{2}
とすることができます。 f (a,b) の近傍で偏微分可能だから平均値の定理より  s, t: \mathbb{R} \to [0,1] が存在して
 \begin{eqnarray*}
f(a+h, b+k) - f(a, b) & = & f(a+h, b+k) - f(a, b+k) + f(a, b+k) - f(a, b) \\
 & = & f_x(a+s(h)h, b+k) h + f_y(a, b+t(k)k) k \\
 & = & f_x(a, b) h + f_y(a, b) k + g(h, k)
\end{eqnarray*}
 g(h, k) = (f_x(a+s(h)h, b+k) - f_x(a, b)) h + (f_y(a, b+t(k)k) - f_y(a, b)) k
となります。
 |h| < \delta, |k| < \delta \implies \cfrac{|g(h, k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} < \cfrac{\varepsilon}{2} \cdot \cfrac{|h| + |k|}{\sqrt{h^2+k^2}} < \varepsilon
より  \displaystyle  \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{|g(h, k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 となって  f(x, y) (a, b) で全微分可能となります。証明終わり

 f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y) u, v z = x + iy で全微分可能でコーシー・リーマンの方程式を満たすならば  f(z) z微分可能となります。

証明  u, v z = x + iy で全微分可能なので
 \mu(h, k) = u(x + h, y + k) - u(x, y) - u_x(x, y) h - u_y(x, y) k
 \nu(h, k) = v(x + h, y + k) - v(x, y) - v_x(x, y) h - v_y(x, y) k
とおくと
 \displaystyle  \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{\mu(x, y)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
 \displaystyle  \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{\nu(x, y)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
となります。コーシー・リーマンの方程式より  \eta = h + ik とすると
 \cfrac{ f(z + \eta) - f(z) }{ \eta } = \cfrac{ u(x + h, y + k) - u(x, y) }{ \eta } + i \cfrac{ v(x + h, y + k) - v(x, y) }{ \eta }
 = \left( u_x(x, y) + \cfrac{ \mu(h, k)}{ \eta } \right) + i \left( v_x(x, y) + \cfrac{ \nu(h, k)}{ \eta } \right)
となります。 \eta \to 0 のとき
 \left|\cfrac{ \mu(h, k)}{ \eta }\right| = \left|\cfrac{ \mu(h, k)}{ |\eta| }\right| \to 0
 \left|\cfrac{ \nu(h, k)}{ \eta }\right| = \left|\cfrac{ \nu(h, k)}{ |\eta| }\right| \to 0
より
 \displaystyle   \lim_{\eta \to 0} \cfrac{ f(z + \eta) - f(z) }{ \eta } = u_x(x, y) + i v_x(x, y)
となり  f z微分可能となります。証明終わり

この証明はだいたい本に書いてある通りです。これをよく見てみると積分のことがわかってくるらしいですが(そんなことが本に書いてありました)、今のところ何も見えていません。もう少し見ていきたいと思います。

複素関数論の基礎

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複素関数概論 (数学基礎コース)

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複素解析 1変数解析関数 (ちくま学芸文庫)

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