エレファントな関数論(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

コーシー・リーマンの方程式

定義(全微分可能)

$\mathbb{R}^2$ の開集合 $U$ と $(a, b) \in U$ に対して、写像 $f: U \to \mathbb{R}$ は
$f(x, y) = f(a, b) + \alpha(x - a) + \beta(y - b) + \varepsilon(x, y)$
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} \cfrac{\varepsilon(x, y)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}} = 0$
を満たす $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 、 $\varepsilon: U \to \mathbb{R}^2$ が存在するとき $(a, b)$ において全微分可能であると言います。

$f(x, y)$ が $(a, b)$ の近傍で $C^1$ 級ならば $f(x, y)$ は $(a, b)$ で全微分可能となります。

証明 $f_x$ 、 $f_y$ は連続だから $\varepsilon > 0$ に対して適当な $\delta > 0$ をとると
$|h| < \delta, |k| < \delta \implies |f_x(a+h,b+k)-f_x(a,b)| < \cfrac{\varepsilon}{2}, |f_y(a+h,b+k)-f_y(a,b)| < \cfrac{\varepsilon}{2}$
とすることができます。 $f$ は $(a,b)$ の近傍で偏微分可能だから平均値の定理より $s, t: \mathbb{R} \to [0,1]$ が存在して
$\begin{eqnarray*} f(a+h, b+k) - f(a, b) & = & f(a+h, b+k) - f(a, b+k) + f(a, b+k) - f(a, b) \\ & = & f_x(a+s(h)h, b+k) h + f_y(a, b+t(k)k) k \\ & = & f_x(a, b) h + f_y(a, b) k + g(h, k) \end{eqnarray*}$
$g(h, k) = (f_x(a+s(h)h, b+k) - f_x(a, b)) h + (f_y(a, b+t(k)k) - f_y(a, b)) k$
となります。
$|h| < \delta, |k| < \delta \implies \cfrac{|g(h, k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} < \cfrac{\varepsilon}{2} \cdot \cfrac{|h| + |k|}{\sqrt{h^2+k^2}} < \varepsilon$
より $\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{|g(h, k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$ となって $f(x, y)$ は $(a, b)$ で全微分可能となります。証明終わり

$f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)$ が $u, v$ が $z = x + iy$ で全微分可能でコーシー・リーマンの方程式を満たすならば $f(z)$ は $z$ で微分可能となります。

証明 $u, v$ が $z = x + iy$ で全微分可能なので
$\mu(h, k) = u(x + h, y + k) - u(x, y) - u_x(x, y) h - u_y(x, y) k$
$\nu(h, k) = v(x + h, y + k) - v(x, y) - v_x(x, y) h - v_y(x, y) k$
とおくと
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{\mu(x, y)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{\nu(x, y)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$
となります。コーシー・リーマンの方程式より $\eta = h + ik$ とすると
$\cfrac{ f(z + \eta) - f(z) }{ \eta } = \cfrac{ u(x + h, y + k) - u(x, y) }{ \eta } + i \cfrac{ v(x + h, y + k) - v(x, y) }{ \eta }$
$= \left( u_x(x, y) + \cfrac{ \mu(h, k)}{ \eta } \right) + i \left( v_x(x, y) + \cfrac{ \nu(h, k)}{ \eta } \right)$
となります。 $\eta \to 0$ のとき
$\left|\cfrac{ \mu(h, k)}{ \eta }\right| = \left|\cfrac{ \mu(h, k)}{ |\eta| }\right| \to 0$
$\left|\cfrac{ \nu(h, k)}{ \eta }\right| = \left|\cfrac{ \nu(h, k)}{ |\eta| }\right| \to 0$
より
$\displaystyle \lim_{\eta \to 0} \cfrac{ f(z + \eta) - f(z) }{ \eta } = u_x(x, y) + i v_x(x, y)$
となり $f$ は $z$ で微分可能となります。証明終わり