エレファントな関数論(4) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

複素数を線型写像と考えて対角化すると良いと思われるのですが、その前にいったん行列を使って書き直してみます。 $\lim$ はユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ の距離によるものとします。 $f_x$ 、 $f_y$ はそれぞれ $x$ 、 $y$ に関する $f$ の偏導関数を表します。

命題 1 $f(x, y)$ が $(a, b)$ の近傍で $C^1$ 級ならば $f(x, y)$ は $(a, b)$ で全微分可能となります。

[証明] $f_x$ 、 $f_y$ は連続なので
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \begin{pmatrix} f_x(a+h,b+k)-f_x(a,b) \\ f_y(a+h,b+k)-f_y(a,b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \begin{pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_x(a+h,b+k)-f_x(a,b) \\ f_y(a+h,b+k)-f_y(a,b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
となります。 $f$ は $(a,b)$ の近傍 $U$ で偏微分可能なので平均値の定理より $s, t: U \to [0,1]$ が存在して
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \begin{pmatrix} f(a+h, b+k) - f(a, b+k) - f_x(a, b) h \\ f(a, b+k) - f(a, b) - f_y(a, b) k \end{pmatrix} \\ = \displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \begin{pmatrix} f_x(a+s(h,k)h, b+k) h -f_x(a, b) h \\ f_y(a, b+t(h,k)k) k - f_y(a, b) k \end{pmatrix} \\ = \displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \begin{pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_x(a+s(h,k)h, b+k) -f_x(a, b) \\ f_y(a, b+t(h,k)k) - f_y(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
となります。よって
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{(f(a + h, b + k) - f(a, b)) - ( f_x(a, b) h + f_y(a, b) k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$
となって $f(x, y)$ は $(a, b)$ で全微分可能となります。[証明終わり]

命題 2 $f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)$ が $u, v$ が $(a, b)$ で全微分可能でコーシー・リーマンの方程式を満たすならば $g(z) = f(x, y)$ $(z = x + iy)$ は $a +ib$ で微分可能となります。

[証明] $u, v$ が $a + ib$ で全微分可能なので
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \left[ \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} u_x(a, b) & u_y(a, b) \\ v_x(a, b) & v_y(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
コーシー・リーマンの方程式 $u_x = v_y$ 、 $u_y = -v_x$ より
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \left[ \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} u_x(a, b) & -v_x(a, b) \\ v_x(a, b) & u_x(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \left[ \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} u_x(a, b) & -v_x(a, b) \\ v_x(a, b) & u_x(a, b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right] = 0$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \left[ \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - ( u_x(a, b) + iv_x(a, b) ) \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \right] = 0$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \left[ \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - ( u_x(a, b) + iv_x(a, b) ) (h + ik) \right] = 0$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \left| \cfrac{1}{h + ik} \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - ( u_x(a, b) + iv_x(a, b) ) \right| \\ = \displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \left| \cfrac{1}{h + ik} \right| \left|\begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} - ( u_x(a, b) + iv_x(a, b) ) (h + ik) \right| = 0$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{1}{h + ik} \begin{pmatrix} 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u(a + h, b + k) - u(a, b) \\ v(a + h, b + k) - v(a, b) \end{pmatrix} = u_x(a, b) + iv_x(a, b)$
$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \cfrac{f(a + h, b + k) - f(a, b)}{h + ik} = f_x(a, b)$
$\displaystyle \lim_{t\to 0} \cfrac{g(a + ib + t) - g(a + ib)}{t} = f_x(a, b)$
となり $g$ は $a +ib$ で微分可能となります。[証明終わり]