エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

エレファントな関数論(5)

コーシーの積分定理の証明

複素関数概論」に従ってコーシーの積分定理の証明を見ていきたいと思います。

複素積分

向きのついた  C^1 級の曲線  C: z = z(t) \ (a \le t \le b) 上で定義された複素関数  f(z) C 上の複素積分
 \displaystyle \int_{C} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t) dt
と定義します。 C積分路と呼びます。

弧長による積分

積分 C: z = z(t) \ (a \le t \le b) の弧長による積分
 \displaystyle \int_{C} f(z) |dz| = \int_{a}^{b} f(z(t)) |z'(t)| dt \ (a \le b)
と定義します。

複素積分の基本不等式

曲線  C の長さを  L とし、 C 上で  |f(z)| \le M が成り立つならば
 \displaystyle \left| \int_{C} f(z) dz \right| \le \int_{C} |f(z)| |dz| \le ML

[証明]
 \begin{eqnarray*}
\left| \int_{C} f(z) dz \right| & = & \left| \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t) dt \right| \\
 & \le & \int_{a}^{b} |f(z(t))| |z'(t)| dt \\
 & = & \int_{C} |f(z(t))| |dz| \\
\end{eqnarray*}
 \begin{eqnarray*}
L & = & \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt \\
 & = & \int_{a}^{b} |z'(t)| dt = \int_C |dz| \\
\end{eqnarray*}
 \displaystyle \int_{C} |f(z(t))| |dz| \le \int_C M |dz| = ML
[証明終わり]

定理 3.20 (コーシーの積分定理 1')

複素関数  f を単連結領域  D微分可能で( f' の連続性は仮定しない)、 C D 内の閉じた道ならば
 \displaystyle \int _{C} f(z) dz = 0

補題 3.1'

 C を実軸または虚軸に平行な辺からなる長方形の周とし、複素関数  f をその長方形の周と内部を含む開集合で微分可能とすると
 \displaystyle \int _{C} f(z) dz = 0

[証明]  C x_0 + ka + i (y_0 + lb) \ (k,l=0,1; \ x_0, y_0, a, b \in \mathbb{R}) を頂点とする長方形の周、 f はこの長方形の周と長方形の内部を含む開集合で微分可能とします。

 C_1(p,q) \ (p,q=0,1) x_0 + \cfrac{pa}{2} + i (y_0 + \cfrac{qb}{2}) \ (p,q=0,1) を頂点とする長方形とすると  \displaystyle \int_{C} f(z) dz = \sum_{p=0}^{1} \sum_{q=0}^{1} \int_{C_1(p,q)} f(z) dz となります。 C_1(p,q) のうち  \displaystyle \left| \int_{C_1(p,q)} f(z) dz \right| が最大のものを  C_1 とすると  \displaystyle \left| \int_{C} f(z) dz \right| \le 4 \left| \int_{C_1} f(z) dz \right| となります。

これを繰り返して  C=C_0, C_1, C_2, \cdots を作ります。

 C_{n-1} の頂点を  x_{n-1} + \cfrac{ka}{2^{n-1}} + i \left( y_{n-1} + \cfrac{lb}{2^{n-1}} \right) \ (k,l=0,1) とします。

 C_n(p,q) \ (p,q=0,1) x_{n-1} + \cfrac{pa}{2^n} + i (y_{n-1} + \cfrac{qb}{2^n}) \ (p,q=0,1) を頂点とする長方形とすると  \displaystyle \int_{C_{n-1}} f(z) dz = \sum_{p=0}^{1} \sum_{q=0}^{1} \int_{C_n(p,q)} f(z) dz となります。 C_n(p,q) のうち  \displaystyle \left| \int_{C_n(p,q)} f(z) dz \right| が最大のものを  C_n とすると  \displaystyle \left| \int_{C_{n-1}} f(z) dz \right| \le 4 \left| \int_{C_n} f(z) dz \right| となります。

 C=C_0, C_1, C_2, \cdots に対して
 \displaystyle \left| \int_{C} f(z) dz \right| \le 4^n \left| \int_{C_n} f(z) dz \right|
となります。これに対応する長方形の周と内部を  D_0, D_1, D_2, \cdots とすると  D_n有界閉集合 D_0 \supseteq D_1 \supseteq D_2 \supseteq \cdots を満たすので  \displaystyle \bigcap_{n=0}^{\infty} D_n \ne \varnothing となります。 \displaystyle \alpha \in \bigcap_{n=0}^{\infty} D_n をとります。

 f微分可能なので任意の  \varepsilon > 0 に対して  \delta > 0 が存在して
 | z - \alpha | < \delta \implies | f(z) - f(\alpha) - f'(\alpha)(z - \alpha) | \le \varepsilon | z - \alpha |
が成り立ちます。 f(z) - f(\alpha) - f'(\alpha)(z - \alpha) z多項式なので
 \displaystyle \int_{C_n} (f(z) - f(\alpha) - f'(\alpha)(z - \alpha)) dz = 0
となります。

 C_n の長さを  L_n C の長さを  L = 2(a+b) とおきます。 z C_n 上の点ならば  \alpha \in D_n より  | z - \alpha | < L_n が成り立ちます。
 \begin{eqnarray*}
\left| \int_{C_n} f(z) dz \right| & = & \left| \int_{C_n} (f(z) - f(\alpha) - f'(\alpha)(z - \alpha)) dz \right| \\
 & \le & \int_{C_n} \varepsilon \left| z - \alpha \right| \left| dz \right| < \varepsilon L_n^2
\end{eqnarray*}
となり
 \displaystyle \left| \int_{C} f(z) dz \right| \le 4^n \cdot \varepsilon L_n^2 = \varepsilon L^2
となって  \varepsilon > 0 は任意より  \displaystyle \int_{C} f(z) dz = 0 が成り立ちます。[証明終わり]

補題 3.2'

複素関数  f を単連結領域  D微分可能で、閉曲線  C D 内の実軸または虚軸に平行な線分からなる折れ線から成っているならば
 \displaystyle \int _{C} f(z) dz = 0

[証明]  C が線分  C_1, \cdots, C_n からなるとし、 C_i は実軸に平行な直線と虚軸に平行な直線  l_i に含まれているとします。 C の内部を  l_1, \cdots, l_n で分割すると長方形( R_1, \cdots, R_m を周とします)に分割することができます。よって  \displaystyle \int _{C} f(z) dz = \sum_{i=1}^{m} \int _{R_i} f(z) dz = 0 が成り立ちます。[証明終わり]

不定積分

 f(z) を領域  D 上の連続な複素関数とします。 D 内の積分 C に対して、積分  \displaystyle \int_C f(z)dz の値が  C の始点  \alpha と終点  \beta が固定されれば途中の道  C によらずに一定値をとるとき、この積分 \displaystyle \int_\alpha^\beta f(z)dz で表します。このとき関数  \displaystyle F(z) = \int_\alpha^z f(\zeta)d\zeta f不定積分と言います。

命題 (E)

複素関数  f(z) が始点を  \alpha、終点を  \beta とする道  C を含む領域で正則ならば
 \displaystyle \int_C f'(z)dz = f(\beta) - f(\alpha)

[証明]  C : z = z(t) \ (a \le t \le b), F(t) = f(z(t)) とすると
 \displaystyle \int_C f'(z)dz = \int_a^b f'(z(t))z'(t)dt = \int_a^b F'(t)dt = F(\beta) - F(\alpha) = f(\beta) - f(\alpha)
が成り立ちます。[証明終わり]

定理 3.4'

 f(z) を領域  D 上の連続な複素関数とすると以下の条件は同値となります。

  • (a)  f D 上で不定積分を持つ。このとき不定積分 D で正則。
  • (b)  D 上に正則関数  F F' = f となるものが存在する。
  • (c)  D 内の任意の閉じた道  C に対して  \displaystyle \int_C f(z)dz = 0
  • (c')  D 内の実軸または虚軸に平行な線分からなる折れ線からなる任意の閉じた道  C に対して  \displaystyle \int_C f(z)dz = 0

[証明] (c)  \implies (a)
(c) より閉じた道  C に対して  \displaystyle \int_C f(z)dz = 0 が成り立ちます。
 \alpha を始点、 \beta を終点とする  D 内の2つの道  C, C' に対して  C に続けて  -C' をたどる曲線を  C'' とすると  C'' は閉じた道になります。よって
 \begin{eqnarray*}
0 & = & \int_{C''} f(z)dz = \int_{C} f(z)dz + \int_{-C'} f(z)dz \\
 & = & \int_{C} f(z)dz - \int_{C'} f(z)dz
\end{eqnarray*}
 \displaystyle \int_{C} f(z)dz = \int_{C'} f(z)dz
となります。

ここで  C \alpha を始点、 \beta を終点とする  D 内の任意の道として考えると、積分  \displaystyle \int_{C} f(z)dz C の始点  \alpha と終点  \beta とで一意に定まり、道  C の途中の通り方にはよらないことがわかります。よって (a) が成り立ちます。

(c')  \implies (b)
 C C' \alpha を始点、 \beta を終点とする実軸または虚軸に平行な線分からなる折れ線とすると、(c)  \implies (a) の証明と同様に、(c') の条件より  \displaystyle \int_C f(z)dz = \int_{C'} f(z)dz が成り立ちます。 C(a,z) a を始点、 z を終点とする実軸または虚軸に平行な線分からなる折れ線とし、 \displaystyle F(z) = \int_{C(a,z)} f(\zeta)d\zeta とおきます。

 f は連続なので任意の  \varepsilon > 0 に対して適当な  \delta > 0 をとると
 | \zeta - z | < \delta \implies | f(\zeta) - f(z) | < \varepsilon
とすることができます。この  \delta は開円板  \Delta_\delta(z) \Delta_\delta(z) \subseteq D となるようにとることができます。

 |\eta| < \delta C_\eta \eta(t) = z + t\eta \ (0 \le t \le 1) とすると  \zeta C_\eta の点ならば  | \zeta - z | <  |\eta| < \delta となるので  | f(\zeta) - f(z) | < \varepsilon が成り立ちます。
 \displaystyle F(z+\eta) - F(z) = \int_{C(a,z+\eta)} f(\zeta)d\zeta - \int_{C(a,z)} f(\zeta)d\zeta = \int_{C_\eta} f(\zeta)d\zeta
 \displaystyle \eta = \int_{C_\eta} d\zeta
より
 \begin{eqnarray*}
\left| \cfrac{F(z+\eta) - F(z)}{\eta} - f(z) \right| & = & \left| \cfrac{1}{\eta} \int_{C_\eta} (f(\zeta) - f(z)) d\zeta \right| \\
 & \le & \cfrac{1}{|\eta|} \int_{C_\eta} |f(\zeta) - f(z)| |d\zeta| \\
 & < & \cfrac{1}{|\eta|} \int_{C_\eta} \varepsilon |d\zeta| = \varepsilon
\end{eqnarray*}
となって  \varepsilon \to 0 とすれば  F'(z) = f(z) となります。

(b)  \implies (c)
(b) より  C D 内の任意の閉じた道として、 C の始点を  \alpha をすると  \alpha C の終点にもなります。よって命題 (E) により
 \displaystyle \int_C f(z)dz = \int_C F'(z)dz = F(\alpha) - F(\alpha) = 0
となるので (c) が成り立ちます。

(a)  \implies (b) は (c')  \implies (b) の後半で  F(z) = \displaystyle \int_a^z f(z)dz とおけば成り立ちます。[証明終わり]

コーシーの積分定理(定理 3.20)の証明

補題 3.2' と定理 3.4' から成り立ちます。

複素関数論の基礎

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複素関数概論 (数学基礎コース)

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複素解析 1変数解析関数 (ちくま学芸文庫)

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