エレファントな整数論(17) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

整数の素数の積への分解

$R$ を整域、 $\langle R \rangle$ を $R$ の単項イデアル全体の集合とします。 $a \in R$ で生成された単項イデアルを $(a)$ と書きます。 $0$ だけからなるイデアルを $(0)$ と書き、イデアル $(0)$ だけからなる集合を $\langle 0 \rangle$ と書くことにします。

(E2) $(a), (b) \in \langle R \rangle$ 、 $(a) \ne (0)$ 、 $(b) \ne (0)$ ならば $f( (a) ) < f( (a)(b) )$

(ユークリッド関数の条件(2)*1と同様の条件)を満たす $f: \langle R \rangle \setminus \langle 0 \rangle \to \mathbb{N}$ が存在するとします*2。

$R$ の素元全体の集合を $X$ とします。 $X$ によって( $R$ の乗法によって)生成されたモノイドを $P$ とおきます。 $P$ の元で生成された単項イデアル全体の集合を $\langle P \rangle$ とします。

このとき $\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ が成り立ちます。

[証明] $\langle R \rangle \setminus (\langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle) \ne \varnothing$ と仮定します。 $m = \min \{ f( (a) ) \mid (a) \in \langle R \rangle \setminus (\langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle) \}$ とし、 $f( (a) ) = m$ となる $(a) \in \langle R \rangle \setminus (\langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle)$ をとります。

$(a) \notin \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ なので $(a) = (b)(c)$ 、 $(b) \ne (1)$ 、 $(c) \ne (1)$ となる $(b), (c) \in \langle R \rangle$ が存在します*3。

(E2)より $f( (b) ) < m$ 、 $f( (c) ) < m$ となります。 $(b), (c) \in \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ となって、 $(a) \ne (0)$ より $(b) \ne (0)$ 、 $(c) \ne (0)$ なので $(b), (c) \in \langle P \rangle$ となります。よって $(a) = (b)(c) \in \langle P \rangle$ となって矛盾。

よって $\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ となります。[証明終わり]

$R$ が整数全体の集合のとき、 $f( (a) )$ を $a$ の絶対値とすると、(E2)を満たします。よって $\langle R \rangle = \langle P \rangle \cup \langle 0 \rangle$ となります。すなわち任意の整数 $a$ は $a = p_1 p_2 \cdots p_n$ という素数の積で表すことができます。