エレファントな整数論(5) - エレファント・コンピューティング調査報告

乗法 $\cdot$ を

と帰納的に定義します。乗法の演算子を省略して $a \cdot b$ を $ab$ と書くことができるものとします。乗法は加法に優先するとしてかっこを省略することができるものとします。

となるので、帰納法により

が成り立ちます。

となるので、帰納法により

が成り立ちます。

(M2)と $a \cdot 1 = a \cdot (0+1) = (a \cdot 0) + a = 0 + a = a$ により

となり $1$ は乗法の単位元となります。

$(a + b) \cdot 0 = 0 = 0 + 0 = a \cdot 0 + b \cdot 0$
$(a + b)c = ac + bc$ のとき $(a + b)(c + 1) = (a + b)c + a + b = ac + bc + a + b = a(c + 1) + b(c + 1)$

となるので、帰納法により

が成り立ちます。

となるので、帰納法により

が成り立ちます。

(M4)、(M5)より

が成り立ちます。

$(ab) \cdot 0 = 0$
$(ab)c = a(bc)$ のとき $(ab)(c + 1) = (ab)c + ab = a(bc) + ab = a(bc + b) = a (b(c + 1))$

となるので、帰納法により

が成り立ちます。

(M1)、(M2)、(M4)、(M5)、(M7)の計算を書き直すと

(M1) $0 \cdot b = 0(b - 1) = 0(b - 2) = \cdots = 0(b - b) = 0 \cdot 0 = 0$
(M2) $1 \cdot b = 1b + 0 = 1(b - 1) + 1 = 1(b - 2) + 2 = \cdots = 1(b - b) + b = 1 \cdot 0 + b = b$
(M4) $(a + b)c = (a + b)c + a0 + b0 = (a + b)(c - 1) + a1 + b1 = (a + b)(c - 2) + a2 + b2 \\ = \cdots = (a + b)(c - c) + ac + bc = ac + bc$
(M5) $ab = ab + 0a = a(b - 1) + 1a = a(b - 2) + 2a = \cdots = a(b - b) + ba = ba$
(M7) $(ab)c + a(bd) = (ab)(c - 1) + ab + a(bd) = (ab)(c - 1) + a(b + bd) = (ab)(c - 1) + a(b(1 + d))$ より $(ab)c = (ab)(c - 1) + a(b1) = (ab)(c - 2) + a(b2) = \cdots = (ab)(c - c) + a(bc) = a(bc)$