(自然数全体の集合)と数学的帰納法の関係を考察したので、ここからは数学的帰納法の原理が成り立つ が存在するとして進めます。
整数の加法
に対して を
と定義します。 となります。
- 任意の に対して
- 任意の に対して
- (Z5) 任意の に対して
- (Z4) 任意の に対して
- (Z1) 任意の に対して
- (Z6) 任意の に対して
のとき となる が存在します。 と書くと
- (Z2) 任意の に対して
- (Z3) 任意の に対して
となります。
は可換なモノイドなので、、 とおくと(Z1)、(Z2)、(Z3)より は (写像の合成)に関して閉じています。(Z4)より逆元が存在するので は群となります。 は を含む最小の(全単射全体の群の)部分群となります。(Z5)、(Z6)より はアーベル群となります。
に対して と定義します。(Z2)より 、 のとき となります。