エレファントな整数論(6) - 非専門的シンギュラリティー研究所

$\mathbb{N}$ (自然数全体の集合)と数学的帰納法の関係を考察したので、ここからは数学的帰納法の原理が成り立つ $\mathbb{N}$ が存在するとして進めます。

整数の加法

$a \in \mathbb{N}$ に対して $-a$ を

$-0 = 0$
$-(a + 1) = (-a) + s^{-1}$

と定義します。 $s^{-1} = -1$ となります。

$\begin{eqnarray*} & & (-a) + (-1) = (-1) + (-a) \\ & \Leftarrow & (-(a-1)) + (-1) + (-1) = (-1) + (-(a-1)) + (-1) \\ & \Leftarrow & (-(a-1)) + (-1) = (-1) + (-(a-1)) \\ & \Leftarrow & (-(a-2)) + (-1) = (-1) + (-(a-2)) \\ & \Leftarrow & \cdots \Leftarrow (-(a-a)) + (-1) = (-1) + (-(a-a)) \Leftarrow -1 = -1 \end{eqnarray*}$

任意の $a \in \mathbb{N}$ に対して $(-a) + (-1) = (-1) + (-a)$

$(-a) + 1 = 1 + (-1) + (-a) + 1 = 1 + (-a) + (-1) + 1 = 1 + (-a)$

任意の $a \in \mathbb{N}$ に対して $(-a) + 1 = 1 + (-a)$

$a + (-b) = (a - 1) + 1 + (-b) = (a - 1) + (-b) + 1 = (a - 2) + (-b) + 2 \\ = \cdots = (a - a) + (-b) + a = (-b) + a$

(Z5) 任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $a + (-b) = (-b) + a$

$a + (-a) = (a - 1) + 1 + (-(a - 1)) + (-1) = (a - 1) + (-(a - 1)) \\ = (a - 2) + (-(a - 2)) = \cdots = (a - a) + (-(a - a)) = 0$

(Z4) 任意の $a \in \mathbb{N}$ に対して $a + (-a) = (-a) + a = 0$

$-(a + b) = (-(a + b - 1)) + (-1) = (-(a + b - 2)) + (-2) \\ = \cdots = = (-(a + b - b)) + (-b) = (-a) + (-b)$

(Z1) 任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $-(a + b) = (-a) + (-b)$
(Z6) 任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $(-a) + (-b) = (-b) + (-a)$

$a \ge b$ のとき $a = b + c$ となる $c \in \mathbb{N}$ が存在します。 $c = a \setminus b$ と書くと

(Z2) 任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $a + (-b) = b + c + (-b) = c = a \setminus b$
(Z3) 任意の $a, b \in \mathbb{N}$ に対して $(-a) + b = (-(b + c)) + b = (-c) + (-b) + b = -c = -(a \setminus b)$

となります。

$\mathbb{N}$ は可換なモノイドなので、 $\mathbb{N}^- = \{ -a \mid a \in \mathbb{N} \}$ 、 $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \mathbb{N}^-$ とおくと(Z1)、(Z2)、(Z3)より $\mathbb{Z}$ は $+$ (写像の合成)に関して閉じています。(Z4)より逆元が存在するので $\mathbb{Z}$ は群となります。 $\mathbb{Z}$ は $1$ を含む最小の(全単射全体の群の)部分群となります。(Z5)、(Z6)より $\mathbb{Z}$ はアーベル群となります。