人工知能的代数学(1) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

目標

ここでは「群論の計算」などで扱っている問題をChatGPTを使って書いていきます。

まず、これは何のためにやっているのかを書きます。これはChatGPTではなかなかちゃんとした答えが返ってくるように書くのは難しいようなので、大まかなことは自分で書きます。以下のようなことをやろうとしています。

数学の問題を表す適切な用語がないものについて考える
帰納法を数式の変形またはビジュアルプログラミングで表す
多項式の計算でできることを考える
プログラムの代数的構造を考える

細かい個別のテーマを書いておきます。これらについては何か答えが得られるかもしれません。

写像と同値関係の間の関係
単一化による帰納法
単一化によるマグマ(代数的構造の一種)の式の変形
単一化による群の式の変形
単一化による環の式の変形
多項式による体の式の変形
写像による自然数の定義
多項式による複素数の定義
自然数の指数から複素数の指数関数の定義
証明の図式を多項式のようなもので表す
論理プログラミングの動作を半環で表す
論理プログラミングと証明の図式の関係
証明の図式を半環で表す
素因数分解の一意性のモノイドで一意性を表した証明
連立一次方程式の方程式の順序によらない解法
代数学の基本定理
対称式の基本定理
ガロア理論
平方剰余の相互法則
たらいまわし関数
アッカーマン関数

まず一般的な代数的構造についてChatGPTに聞いてみます。これらは一般的な本に書かれているものなので聞かなくてもいいのですが、どうなるか確認のためやってみます。以下は質問とその答えです。

群の定義を教えてください

「群（ぐん）」とは、数学の分野における代数構造の一つであり、以下の条件を満たす集合と演算の組である。

集合には、演算が定義されている。この演算は、通常は加法（＋）や乗法（×）などで表されるが、その他の演算も考えることができる。

その演算は、閉じている。つまり、集合の任意の2つの元を取って演算を行っても、結果は集合の中に含まれる。

その演算は、結合法則を満たす。つまり、任意の元 $a, b, c$ に対して、 $(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c)$ のように、演算を行う順序を変えても結果が変わらない。

集合には、恒等元が存在する。つまり、集合の中のどの元とも演算を行っても変化がないような元が存在する。

任意の元に対して、その逆元が存在する。つまり、ある元 $a$ が与えられたとき、演算によって恒等元を得るために必要な元 $b$ が存在する。

群は、数学的な対象や構造の理解や分類において重要な役割を果たしており、多くの数学分野で利用されている。

環の定義を教えてください

「環（かん）」は、数学の代数学における基本的な概念の一つであり、以下の条件を満たす代数構造を指します。
環は、集合 $R$ とその上で定義された2つの二項演算（通常は加法 $+$ と乗法 $\cdot$ ）の組 $(R, +, \cdot)$ であり、次の性質を満たします：

集合 $R$ は加法に関して可換群をなす。

任意の $a, b, c \in R$ について、加法に関して結合法則が成り立つ： $(a + b) + c = a + (b + c)$

集合 $R$ の元 $a, b$ について、加法に関して交換法則が成り立つ： $a + b = b + a$

集合 $R$ の中に、加法の単位元 $0$ が存在する：任意の $a \in R$ に対して、 $a + 0 = a = 0 + a$ を満たす。

集合 $R$ は乗法に関して結合法則を満たす。

任意の $a, b, c \in R$ について、乗法に関して結合法則が成り立つ： $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

乗法に関して分配法則が成り立つ。

任意の $a, b, c \in R$ について、左分配法則が成り立つ： $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$

任意の $a, b, c \in R$ について、右分配法則が成り立つ： $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$

環は、整数環、多項式環、行列環など、数学や物理学、工学などのさまざまな分野で広く応用されています。

体の定義を教えてください

体（たい）は、数学の代数学における基本的な構造の一つであり、以下の性質を満たす代数的構造です。
体は、集合 $F$ とその上で定義された2つの二項演算（通常は加法 $+$ と乗法 $\cdot$ ）の組 $(F, +, \cdot)$ であり、次の性質を満たします：

$F$ は加法に関して可換群をなす。

任意の $a, b, c \in F$ について、加法に関して結合法則が成り立つ： $(a + b) + c = a + (b + c)$

$F$ の元 $a, b$ について、加法に関して交換法則が成り立つ： $a + b = b + a$

$F$ の中に、加法の単位元 $0$ が存在する：任意の $a \in F$ に対して、 $a + 0 = a = 0 + a$ を満たす。

任意の $a \in F$ に対して、加法の逆元 $-a$ が存在する： $a + (-a) = 0$

$F$ の非零元全体は乗法に関して可換群をなす。

任意の $a, b, c \in F$ について、乗法に関して結合法則が成り立つ： $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

$F$ の非零元 $a, b$ について、乗法に関して交換法則が成り立つ： $a \cdot b = b \cdot a$

$F$ の非零元 $a$ に対して、乗法の単位元 $1$ が存在する：任意の $a$ に対して、 $a \cdot 1 = a = 1 \cdot a$ を満たす。

任意の $a \in F$ で、 $a \neq 0$ ならば、 $F$ の中に $a$ の乗法の逆元 $a^{-1}$ が存在する： $a \cdot a^{-1} = 1$ 。

体は、有理数の集合、実数の集合、複素数の集合などがその例です。体は、線型代数や数論などの分野で幅広く応用されています。