人工知能的論理プログラミング(6) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

半環について

Prolog のプログラムは論理式と解釈できます。論理式の全体は分配束となります。分配束は(単位元の存在などを無視すると)半環となります。このブログでは Prolog のプログラムを半環を使って調べています。分配束を使って調べても良いのですが、半環は環と同様のことが成り立つことがあって考えやすいので半環を使っています。

いくつかの入力とそれに対する答えです。

半環の定義を教えてください

半環（Semiring）は、代数構造の一種であり、加法と乗法を持ち、それぞれに対して加法単位元と乗法単位元を持つ非常に基本的な構造です。以下に、半環の定義を示します。
半環は、以下の条件を満たす二項演算（加法と乗法）とそれに関連する単位元からなる代数構造です。

加法と乗法が閉じている：半環の任意の要素に対して、その加法と乗法による演算の結果は再び半環の要素である。

加法と乗法は結合法則を満たす：任意の要素 $a, b, c$ に対して、 $(a + b) + c = a + (b + c)$ および $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 。

加法に関して可換性が成り立つ：任意の要素 $a, b$ に対して、 $a + b = b + a$ 。

加法と乗法に関して分配法則が成り立つ：任意の要素 $a, b, c$ に対して、 $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ および $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ 。

加法単位元の存在：半環には、加法の単位元 $0$ が存在し、任意の要素 $a$ に対して、 $a + 0 = 0 + a = a$ を満たす。

乗法単位元の存在：半環には、乗法の単位元 $1$ が存在し、任意の要素 $a$ に対して、 $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ を満たす。

半環は、組み合わせ最適化、グラフ理論、符号理論などの数学や計算機科学の分野で広く用いられます。

分配束の定義を教えてください

分配束（Distributive lattice）は、部分順序集合において、二項演算である合併（join）と交叉（meet）に対して分配法則を満たす代数的構造です。具体的には以下の性質を持ちます。

部分順序集合である：集合 $L$ が部分順序集合である。

合併と交叉に関する分配法則を満たす：任意の $a, b, c \in L$ について、以下の分配法則が成り立つ。

$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$

$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$

合併と交叉に関しての最小と最大の元が存在する： $L$ の任意の部分集合に対して、その合併と交叉が存在し、それぞれの操作によって得られる元が $L$ の元である。

このような性質を持つ代数構造は、数学やコンピュータサイエンスの様々な分野で応用されます。例えば、論理学、集合論、データ構造、情報理論などの分野で用いられます。

最大元と最小元をもつ分配束で、合併を加法、交叉を乗法と決めたものは半環になりますか

はい、最大元と最小元を持つ分配束で、合併を加法、交叉を乗法とする操作を定義した場合、それは半環と呼ばれる代数的構造になります。
半環は、2つの二項演算（加法と乗法）を持つ代数的構造であり、以下の条件を満たす必要があります：

加法に関する閉包性：任意の要素に対して、その加法に関する逆元が存在すること。

加法に関する結合法則：任意の要素 $a、b、c$ について、 $(a+b)+c = a+(b+c)$ となること。

加法に関する交換法則：任意の要素 $a、b$ について、 $a+b = b+a$ となること。

乗法に関する閉包性：任意の要素に対して、その乗法に関する単位元が存在すること。

乗法に関する結合法則：任意の要素 $a、b、c$ について、 $(a×b)×c = a×(b×c)$ となること。

加法に関する分配法則：任意の要素 $a、b、c$ について、 $a×(b+c) = (a×b)+(a×c)$ となること。

乗法に関する分配法則：任意の要素 $a、b、c$ について、 $(a+b)×c = (a×c)+(b×c)$ となること。

最大元と最小元を持つ分配束に対して、合併を加法、交叉を乗法とする操作を定義すると、これらの条件が満たされるので、それは半環となります。

命題論理の論理式の全体に、論理積を交叉、論理和を合併と決めると分配束になりますか

命題論理の論理式の全体に、論理積を交叉、論理和を合併として定義すると、それは分配束となります。
分配束とは、集合とその上の2つの二項演算が定義され、それらの演算が分配法則を満たす代数的構造です。論理積と論理和は、分配法則を満たすので、これらを交叉と合併として定義すれば、命題論理の論理式の全体は分配束になります。
具体的には、以下のような分配法則が成立します：

交叉（論理積）に関する分配法則：任意の論理式 $A$ 、 $B$ 、 $C$ について、 $A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$

合併（論理和）に関する分配法則：任意の論理式 $A$ 、 $B$ 、 $C$ について、 $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$

したがって、命題論理の論理式の全体に対してこのような操作を定義すると、それは分配束となります。

半環を使って以下のようなことをやります。

Prolog のリストの逆順を求める述語

reverse_list([], []).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    reverse_list(Xs, Rest),
    append(Rest, [X], Reverse).

について、reverse_list と同じ動作をする reverse_list_2 を作り、reverse_list からの再帰的な reverse_list の呼び出しを reverse_list_2 の呼び出しで置き換えます。

reverse_list([], []).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    reverse_list_2(Xs, Rest),
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list_2([], []).
reverse_list_2([X|Xs], Reverse) :-
    reverse_list_2(Xs, Rest),
    append(Rest, [X], Reverse).

ここで(後で置き換えやすいように) reverse_list_2 の変数名を変更しておきます。

reverse_list([], []).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    reverse_list_2(Xs, Rest),
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list_2([], []).
reverse_list_2([X_2|Xs_2], Reverse_2) :-
    reverse_list_2(Xs_2, Rest_2),
    append(Rest_2, [X_2], Reverse_2).

次に reverse_list からの reverse_list_2 の呼び出しを reverse_list_2 の本体で置き換えます。

reverse_list([], []).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    Xs=[], Rest=[], 
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    Xs=[X_2|Xs_2], Rest=Reverse_2, 
    reverse_list_2(Xs_2, Rest_2),
    append(Rest_2, [X_2], Reverse_2),
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list_2([], []).
reverse_list_2([X_2|Xs_2], Reverse_2) :-
    reverse_list_2(Xs_2, Rest_2),
    append(Rest_2, [X_2], Reverse_2).

こうすると reverse_list の再帰を一段階減らすことができます。

これをもう一段階減らしてください

と入力したところ、以下のような答えでした。

次に再帰を一段階減らすために、`reverse_list_2` の再帰呼び出しを `reverse_list` の本体で行います。
reverse_list([], []).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    Xs=[], Rest=[], 
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list([X|Xs], Reverse) :-
    Xs=[X_2|Xs_2], Rest=Reverse_2, 
    reverse_list(Xs_2, Rest_2),
    append(Rest_2, [X_2], Reverse_2),
    append(Rest, [X], Reverse).
reverse_list_2([], []).
reverse_list_2([X_2|Xs_2], Reverse_2) :-
    append(Rest_2, [X_2], Reverse_2),
    reverse_list_2(Xs_2, Rest_2).
こうすることで、`reverse_list` と `reverse_list_2` の両方で再帰呼び出しを一段階減らすことができます。

これはやってくれませんでした。このようなことを半環を使ってやろうとしています。