「不等式の方法」で証明を書いていこうと思いますが、その前に必要なことを「集合と位相」に従って書いておきます。
集合と写像
、
、
とします。
、
を以下のように定義します。
以下のことが成り立ちます。(「集合と位相」定理5.2 を参照)
(1-1) 
[証明]
[証明終わり]
(1-2) 
[証明]
[証明終わり]
(1-3) 
[証明]
[証明終わり]
(1-4) 
[証明]
[証明終わり]
(1-5) 
[証明]
[証明終わり]
(1-6) 
[証明]
[証明終わり]
(1-7) 
[証明]
[証明終わり]
(1-8) 
[証明]
[証明終わり]
集合系と写像の関係
、
の部分集合系
、
の部分集合系
に対して以下が成り立ちます。(「集合と位相」問5.4 を参照)
(2-1) 
[証明]
[証明終わり]
(2-2) 
[証明]
[証明終わり]
(2-3) 
[証明]
[証明終わり]
(2-4) 
[証明]
[証明終わり]
上極限集合・下極限集合
集合系 に対して
- 上極限集合
- 下極限集合
を定義します。上極限集合、下極限集合について以下が成り立ちます。(「集合と位相」問5.6 を参照)
(3-1) 
[証明] 任意の に対して
ならば
となる
が存在するとします。任意の
に対して
とおくと
なので
となります。よって
[証明終わり]
(3-2) 「すべての
に対して
」が成り立つとき
、
[証明] 定義より
[証明終わり]
(3-3) 
[証明] とすると
となる
が存在します。
ならば
であり、
より
となります(*1)。
また、 より
ならば
となります(*2)。
(*1)、(*2)より となります。よって
が成り立ちます。
(3-2)より が成り立つので
が成り立ちます。[証明終わり]
(3-4) 
[証明] ド・モルガンの法則より
が成り立ちます。(3-3)より
となります。[証明終わり]
極限集合
集合系 に対して上極限集合と下極限集合が一致するとき、これを極限集合といい
で表します。極限集合について以下が成り立ちます。(「集合と位相」問5.7 を参照)
(4-1) 「(条件*)すべての
に対して
」が成り立つとき 
[証明] (条件*)より となるので
となり、
が成り立ちます。
また (3-1)より となるので、
が成り立ちます。[証明終わり]
(4-2) 「(条件*)すべての
に対して
」が成り立つとき 
[証明] (条件*)より任意の に対して
となるので、
(4-1)より が成り立ちます。各項の補集合をとるとド・モルガンの法則より
が成り立ちます。[証明終わり]
、
がともに存在すれば以下が成り立ちます。(「集合と位相」問5.8 を参照)
(5-1) 
[証明] (3-2)、(3-1)、(3-3)より
となります。、
ならば上記の式の項はすべて等しくなります。[証明終わり]
(5-2) 
[証明] (3-4)、(3-1)、(3-2)より
となります。、
ならば上記の式の項はすべて等しくなります。[証明終わり]
順序関係
集合 上の二項関係
が
- 反射律: 任意の
に対して
- 推移律: 任意の
に対して
ならば
- 反対称律: 任意の
に対して
かつ
ならば
を満たすとき半順序と呼びます。単に順序(順序関係)という場合は半順序のことを表すとします。さらに
- 任意の
に対して
または
を満たすとき全順序と呼びます。
集合 の部分集合の全体を
の冪集合と呼び
で表します。
で決まる
上の二項関係
は順序関係となります。これを
上の包含関係と呼びます。(「集合と位相」例8.1 を参照)
同値関係
集合 上の二項関係
が
- 反射律: 任意の
に対して
- 推移律: 任意の
に対して
ならば
- 対称律: 任意の
に対して
ならば
を満たすとき同値関係と呼びます。
集合 上の同値関係
が与えられたとき、
に対して
の部分集合
を
の同値類と呼びます。同値類全体の集合を集合
の同値関係
による商集合と呼び、
と書きます。
を
に対応させる全射
を
から
への自然な射影と呼びます。
が同値関係であることから、同値類の全体は、集合
を互いに交わらない部分集合に分割します。
に対して、
で定義される
上の関係
は同値関係となります。
を
に付随する同値関係と呼びます。
となるので、同値類
に
を対応させる写像
を定義することができます。
は全単射となります。(「集合と位相」問8.3 を参照)

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