エレファント・コンピューティング調査報告

極限に関する順序を論理プログラミングの手法を使って指定することを目指すブロクです。

中間報告(3)

論理プログラミング

「論理プログラミング」と「論理計算と随伴関手」のシリーズでは、ブラウザで行われるような無限に続く入出力を、論理プログラミングを使って極限として記述する方法を考えています。しかし実行順序を表す方法がなければ適切に表すことができるのかどうかはわからないと考えています。無限の実行順序なので何かの方法で指定する必要があります。極限として表すことができるということは言えるのですが、実行順序の指定についてはできていないので、わかりやすい説明ができていない状況です。

「半環上のフラクタル代数」では、論理プログラミングのデータを半環と考えて、それを環または体に対応させることを考えています。半環に順序を導入して、それを環または体に対応させてその極限を考えることによって実行順序を表すことを目標としています。環に関する形式的冪級数は極限として定義することができるのでその類似のものについて調べてみようとしています。そしてその順序を定義するために、数式の変形を使うことができないかと考え、その動画によって実行順序を定義する方法を考えています。

現在は、論理プログラミングと半環の対応について調べているところです。一階述語論理についても調査中です。とくにスコーレム標準形について調べています。

フラクタル代数言語 Fractal」では論理プログラミング言語であるPrologのような言語に、そのような実行順序を指定する機能を追加する方法を考えていますが、まだ何もできていません。

圏論

「斜めの線を使わない圏論」は、このブログでは斜めの線を使った可換図式を書くことができないので、極限を数式の変形で表すことができないかということで始めたものです。極限がどんなものかというぐらいはわかるのですが、圏論についてはよく知らないので極限について調べる前にいろいろ知っていた方が良いので調べている段階です。

圏論の本でHaskellのことが書いてあるものがあったのでHaskellについても調べてみたいと思います。Haskellでは写像の合成によって実行順序が決まっているのではないかと思われるのですが、そのあたりをよく知らないので調べてみたいと思います。

関数プログラミング

関数プログラミング」では論理プログラミングと関数プログラミングを対応させて、関数プログラミングの実行順序について調べようとしているのですが、何もできていません。Prolog的な計算方法と関数プログラミングとの関係についても調べてみたいのですが、今のところ何もやっていません。

群論の計算

群論の計算」は代数方程式の冪根による解法の理論が体の同型の群と体上の多項式環の同型の群の計算の理論と考えていたので、体の計算のヒントになるのではないかと思って書いています。定理の証明のところまでは書いたのですが、まだうまく計算する方法はありません。証明を書いてみると知らないこと(忘れていたこと)がけっこうあってもう少し調べないといけないのかもしれません。群の計算を使って証明を書いている例は知らないので、全部を書くことはできないと思いますが部分的には群の計算でできるところもあるのではないかと思います。「3次方程式の冪根による解法」、「対称式の基本定理」はできるかもしれませんが今のところできていません。

今後の予定

極限に関する数式の変形を中心に調べていきます。Prolog のような計算方法で極限の計算ができないかということを考えていきます。

いろいろな数学の問題がヒントにならないかと考えています。絶対数学の本があって、これは体の計算に使えるかもしれないので調べてみる予定です。ABC予想の本の中で絶対数学に関連することが書いてあってこれは関係あるのかどうか調べてみる予定です。

ミレニアム問題の中に、問題を理解するために計算をやってみることができるものがあるかもしれません。フェルマーの最終定理四色問題なども説明しようとしたことがありますがうまくいかなかったのですが、やり方によってはヒントがあるかもしれません。これらは本があるので調べやすいということは言えます。