現代数学のエレファント(2) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

逆行列の計算をするための準備をしていきます。

外積

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を基底とします。
$E_k = \{e_{ { i_{1} } }\wedge e_{ {i_{2} }}\wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } }\mid 1\leq i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}\leq n\}$
を基底とする $K$ 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を $k$ -次外冪と呼び $\bigwedge^k(V)$ と書きます(この定義はWikipediaによる)。 $\bigwedge^k(V)$ の次元は二項係数 $C(n , k)$ となります。

これらのベクトル空間の直和(すべての $E_k$ を基底とする $2^n$ 次元ベクトル空間)
$\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)$
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで $\bigwedge^0(V) = K$ 、 $\bigwedge^1(V) = V$ とします。

$\bigwedge (V)$ に演算
$\wedge \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)$
を定義します。

まず $V \times V$ に制限した演算を考えます。
$\wedge_1 \colon V \times V \to \bigwedge^2 (V)$ を
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \wedge_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} (a_i b_j - a_j b_i) (e_i \wedge e_j)$
と定義すると
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} a_i e_i\right) \wedge_1 \left(\sum_{j=1}^{n} b_j e_j\right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i b_j (e_i \wedge e_j)$
を満たします。

(双線型性)
- 任意の $u, v, w \in V$ に対して $(u + v) \wedge_1 w = (u \wedge_1 w) + (v \wedge_1 w)$
- 任意の $u, v, w \in V$ に対して $u \wedge_1 (v + w) = (u \wedge_1 w) + (v \wedge_1 w)$
- 任意の $u, v \in V$ 、任意の $a \in K$ に対して $au \wedge_1 v = u \wedge_1 av = a(u \wedge_1 v)$
任意の $v \in V$ に対して $v \wedge_1 v = 0$

が成り立ちます。

$\wedge_k \colon \bigwedge^k (V) \times V \to \bigwedge^{k+1} (V)$ を $k=1$ のときは $\wedge_1$ 、 $k \ge 2$ のときは
$(e_{ { i_{1} } }\wedge e_{ {i_{2} }}\wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } }) \wedge_k e_j$
$= \begin{cases} - ( (e_{ { i_{1} } } \wedge e_{ {i_{2} }} \wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k-1} } }) \wedge_{k-1} e_j) \wedge e_{ { i_{k} } } & (i_k > j のとき) \\ 0 & (i_k = j \ のとき) \\ e_{ { i_{1} } } \wedge e_{ {i_{2} }} \wedge \cdots \wedge e_{ { i_{k} } } \wedge e_j & (i_k < j のとき) \\ \end{cases}$
と帰納的に定義することができます。

これを繰り返して $\wedge_{k,l} \colon \bigwedge^k (V) \times \bigwedge^l (V) \to \bigwedge^{k+l} (V)$ を定義することができます。

(結合性)
- 任意の $x \in \bigwedge^k (V)$ 、 $y \in \bigwedge^l (V)$ 、 $z \in \bigwedge^m (V)$ に対して $(x \wedge_{k,l} y) \wedge_{k+l,m} z = x \wedge_{k,l+m} (y \wedge_{l,m} z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y \in \bigwedge^k (V)$ 、 $z \in \bigwedge^l (V)$ に対して $(x + y) \wedge_{k,l} z = (x \wedge_{k,l} z) + (y \wedge_{k,l} z)$
- 任意の $x \in \bigwedge^k (V)$ 、 $y, z \in \bigwedge^l (V)$ に対して $x \wedge_{k,l} (y + z) = (x \wedge_{k,l} y) + (x \wedge_{k,l} z)$
- 任意の $x \in \bigwedge^k (V)$ 、 $y \in \bigwedge^l (V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \wedge_{k,l} y = x \wedge_{k,l} ay = a(x \wedge_{k,l} y)$

が成り立ちます。

$\wedge_{*} \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)$ を
$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \right) \wedge_* \left(\sum_{j=1}^{n} y_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (x_i \wedge_{i,j} y_j)$
( $x_i \in \bigwedge^i (V)$ 、 $y_j \in \bigwedge^j (V)$ )と定義すると

(結合性)
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $(x \wedge_{*} y) \wedge_{*} z = x \wedge_{*} (y \wedge_{*} z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $(x + y) \wedge_{*} z = (x \wedge_{*} z) + (y \wedge_{*} z)$
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $x \wedge_{*} (y + z) = (x \wedge_{*} y) + (x \wedge_{*} z)$
- 任意の $x, y \in \bigwedge (V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \wedge_{*} y = x \wedge_{*} ay = a(x \wedge_{*} y)$

が成り立ちます。

$\wedge_*$ を $\wedge$ と書くと $\bigwedge (V)$ に演算
$\wedge \colon \bigwedge (V) \times \bigwedge (V) \to \bigwedge (V)$
が定義できます。

(結合性)
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $(x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)$
(双線型性)
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $(x + y) \wedge z = (x \wedge z) + (y \wedge z)$
- 任意の $x, y, z \in \bigwedge (V)$ に対して $x \wedge (y + z) = (x \wedge y) + (x \wedge z)$
- 任意の $x, y \in \bigwedge (V)$ 、任意の $a \in K$ に対して $ax \wedge y = x \wedge ay = a(x \wedge y)$
任意の $v \in V$ に対して $v \wedge v=0$

が成り立ちます。

この演算を外積と呼びます。外積によって $\bigwedge (V)$ は体 $K$ 上の単位的結合代数となります。

$\bigwedge(V)$ はテンソル代数 $T(V)$ を $x \otimes x \ (x ∈ V)$ の形の元で生成される両側イデアル $I$ で割った商代数 $\bigwedge (V) = T(V)/I$ となり、 $x \wedge y =x \otimes y {\pmod {I}}$ となります。ここでは詳しい説明は省略します。

行列式

$V$ を体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、 $\{e_1, e_2, \cdots , e_n\}$ を基底、 $\varphi: V \to V$ を線型写像とします。

$\bigwedge^{n} \varphi : \bigwedge^{n} (V) \to \bigwedge^{n} (V)$ を $\bigwedge^{n} \varphi ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = \varphi (e_{1}) \wedge \cdots \wedge \varphi (e_{n})$ とすると線型写像となります。よって $a \in K$ が存在して $\bigwedge^{n} \varphi ( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} ) = a( e_{1} \wedge \cdots \wedge e_{n} )$ となります。この $a$ を $\varphi$ の行列式と呼び $\det \varphi$ と書きます(この定義はWikipediaによる)。

線型写像を $n$ 行 $n$ 列の行列 $A$ で表し $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ とすると $A$ の行列式 $\det A$ は
$\displaystyle \det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\operatorname {sgn} \sigma )\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$
となります( $S_n$ は $n$ 次対称群、 $\operatorname{sgn}$ は置換の符号)。ここでは詳しい説明は省略します。

行列 $A$ の $j$ 列を $v_j \in V$ とすると $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = (\det A)(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n)$ となります。

(多重線型性)
- 任意の $x, y \in \bigwedge (V)$ 、任意の $u, v \in V$ に対して $x \wedge (u + v) \wedge y = (x \wedge u \wedge y) + (x \wedge v \wedge y)$
- 任意の $x, y \in \bigwedge (V)$ 、任意の $v \in V$ 、任意の $a \in K$ に対して $x \wedge av \wedge y = a(x \wedge v \wedge y)$
任意の $x, y \in \bigwedge (V)$ 、任意の $v \in V$ に対して $x \wedge v \wedge v \wedge y = 0$