逆行列の計算をするための準備をしていきます。
外積
を体
上の
次元ベクトル空間、
を基底とします。
を基底とする 上のベクトル空間(に以下のような演算を定義したもの)を
-次外冪と呼び
と書きます(この定義はWikipediaによる)。
の次元は二項係数
となります。
これらのベクトル空間の直和(すべての を基底とする
次元ベクトル空間)
(に以下のような演算を定義したもの)を外積代数と呼びます(この定義はWikipediaによる)。ここで 、
とします。
に演算
を定義します。
まず に制限した演算を考えます。
を
と定義すると
を満たします。
- (双線型性)
- 任意の
に対して
- 任意の
に対して
- 任意の
、任意の
に対して
- 任意の
- 任意の
に対して
が成り立ちます。
を
のときは
、
のときは
と帰納的に定義することができます。
これを繰り返して を定義することができます。
- (結合性)
- 任意の
、
、
に対して
- 任意の
- (双線型性)
- 任意の
、
に対して
- 任意の
、
に対して
- 任意の
、
、任意の
に対して
- 任意の
が成り立ちます。
を
(、
)と定義すると
- (結合性)
- 任意の
に対して
- 任意の
- (双線型性)
- 任意の
に対して
- 任意の
に対して
- 任意の
、任意の
に対して
- 任意の
が成り立ちます。
を
と書くと
に演算
が定義できます。
- (結合性)
- 任意の
に対して
- 任意の
- (双線型性)
- 任意の
に対して
- 任意の
に対して
- 任意の
、任意の
に対して
- 任意の
- 任意の
に対して
が成り立ちます。
この演算を外積と呼びます。外積によって は体
上の単位的結合代数となります。
はテンソル代数
を
の形の元で生成される両側イデアル
で割った商代数
となり、
となります。ここでは詳しい説明は省略します。
行列式
を体
上の
次元ベクトル空間、
を基底、
を線型写像とします。
を
とすると線型写像となります。よって
が存在して
となります。この
を
の行列式と呼び
と書きます(この定義はWikipediaによる)。
線型写像を 行
列の行列
で表し
行
列成分を
とすると
の行列式
は
となります( は
次対称群、
は置換の符号)。ここでは詳しい説明は省略します。
行列 の
列を
とすると
となります。
- (多重線型性)
- 任意の
、任意の
に対して
- 任意の
、任意の
、任意の
に対して
- 任意の
- 任意の
、任意の
に対して
が成り立ちます。この性質から行列式を計算することができます。
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