論理プログラミング的ポアンカレ予想(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

ポアンカレ予想の主張「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」の2次元の場合を考えていきます。「単連結」。「次元」、「閉」の定義をまだ書いていませんが、これは後で定義することにします。

「はじめてのトポロジー」という本を参考にします(「読むトポロジー」も内容は同じです)。この本はポアンカレ予想について書かれたものではないので、主に2次元の場合が書かれているようです。細かいところは省略して本を全部見て見ました(この本はこのような読み方でも読めます)が、「トーラスと球面」のあたりから見ていけば良さそうなのでこのあたりから見ていきます。

曲面の分類

「トーラスと球面」のところに「トーラスの展開図」と「球面の展開図」という図が書かれています。これが最終的には曲面の分類になると思われます。「曲面の分類」として、曲面は球面、種数 $n$ のトーラス、または種数 $n$ のトーラスに1つのメビウスの帯か1つのクライン管を貼り合わせたものとなると書かれています。この理由がどこに書いてあるのかよくわからないのですが、この後にホモロジーによって分類が行われているのでそれがわかればわかるということかもしれません。そのためにはホモロジーの説明をしなければなりません。

ホモロジーについては「大学数学の入門5幾何学2 ホモロジー入門」を参考にします。「層とホモロジー代数」という本は持っているのですがこれはまだ読んでいませんでした。他にもホモロジーのことが書かれた本はあったかもしれないのですがホモロジーのところは読んでいなかったようです。まずはWikipediaを参照して定義を書いておきます。

ホモロジー群

アーベル群の列 $C_0, C_1, C_2, \cdots$ と境界作用素とよばれる群準同型の列 $∂_n: C_n → C_{n-1}$ で任意の $n$ に対して $\partial _{n}\circ \partial _{{n+1}}=0$ を満たすものをチェイン複体と呼びます。 $i < 0$ に対しては $C_i = 0$ として
$\hspace{2em} \dotsb {\overset {\partial _{{n+1}}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{{n-1}}{\overset {\partial _{{n-1}}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}\longrightarrow 0$
とします。

$\partial _{n}\circ \partial _{{n+1}}=0$ より $\operatorname{Im}(∂_{n+1}) ⊆ \operatorname{Ker}(∂_n)$ となります。各 $C_n$ はアーベル群なので、 $\operatorname{Im}(∂_{n+1})$ は $\operatorname{Ker}(∂_n)$ の正規部分群となります。 $Z_n = \operatorname{Ker}(∂_n)$ をサイクル、 $B_n = \operatorname{Im}(∂_{n+1})$ をバウンダリと呼びます。剰余群 $H_n = Z_n / B_n$ を $n$ 次ホモロジー群と呼びます。