対称式の基本定理 - エレファント・コンピューティング調査報告

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。

[証明]

$f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ を対称式とします。

$\LARGE t^{n}-s_{1}t^{n-1}+s_{2}t^{n-2}- \ldots +(-1)^{n}s_{n}=(t-x_{1})(t-x_{2}) \ldots (t-x_{n})$

はどのような $t$ についても成り立つ等式となります( $t$ を変数とする多項式として等しい)。この式の左辺を $t-x_{1}$ で割ると、

$\LARGE t^{n}-s_{1}t^{n-1}+s_{2}t^{n-2}- \ldots +(-1)^{n}s_{n}=(t-x_{1})q_{1}(t)+r_{1}$

となります。 $t=x_{1}$ を代入すると

$\LARGE x^{n}_{1}-s_{1}x^{n-1}_{1}+s_{2}x^{n-2}_{2}- \ldots +(-1)^{n}s_{n}=r_{1}$

となります。

$\LARGE t^{n}-s_{1}t^{n-1}+s_{2}t^{n-2}- \ldots +(-1)^{n}s_{n}=(t-x_{1})(t-x_{2}) \ldots (t-x_{n})$

なので $r_{1}=0$ 、 $q_{1}(t)=(t-x_{2}) \ldots (t-x_{n})$ となります。次に $q_{1}(t)$ を $t-x_{2}$ で割ると、

$\LARGE q_{1}(t)=(t-x_{2})q_{2}(t)+r_{2}$

となって、同様に $r_{2}=0$ 、 $q_{2}(t)=(t-x_{3}) \ldots (t-x_{n})$ となります。このように $q_{k-1}(t)$ を $t-x_{k}$ で割っていくと、 $q_{k-1}(t)=(t-x_{k})q_{k}(t)+r_{k}$ 、 $r_{k}=0$ 、 $q_{k}(t)=(t-x_{k+1}) \ldots (t-x_{n})$ となります。ここで $r_{k}=x_{k}^{n-k+1}+u_{k}$ 、 $u_{k}$ は $x_{k}$ に関する $n-k$ 次以下の式で、 $x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{k}$ だけを含むものとなっています。 $r_{k}=0$ より $x_{k}^{n-k+1}=-u_{k}$ となります。よって $x_{n}=-u_{n}$ 、 $x_{n-1}^{2}=-u_{n-1}$ 、…、 $x_{2}^{n-1}=-u_{2}$ 、 $x_{1}^{n}=-u_{1}$ を $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ に順に代入していくと、 $x_{1}$ については $n-1$ 次以下、 $x_{2}$ については $n-2$ 次以下、…、 $x_{n-1}$ については $1$ 次以下、 $x_{n}$ については $0$ 次以下にすることができます。よって $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は各 $a_{k}$ が $a_{k} \le n-k$ であるような $cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}}$ の和となります。このような $x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}}$ は1次独立となります。

すなわち $L$ を変数 $x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n}$ の有理関数全体の体、 $K$ を $x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n}$ のすべての置換で不変となる $L$ の元全体からなる体とすると、 $L$ は $K$ 上のベクトル空間となり、 $x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}}$ ( $a_{k} \le n-k$ )はその基底となります。アルティンの「ガロア理論入門」では $L$ の $K$ 上ベクトル空間としての次元に関する議論から、上記の主張を導いています。

ここでは直接導いてみることにします。 $\sigma$ が $n$ 次の対称群 $S_{n}$ の元のときに、 $cx_{\sigma (1)}^{a_{1}}x_{\sigma (2)}^{a_{2}} \ldots x_{\sigma (n)}^{a_{n}}$ を $\sigma \left( cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}} \right)$ と書くことにします。 $r=n!$ とおいて、 $S_{n}$ の元を $\sigma _{1},\sigma _{2}, \ldots ,\sigma _{r}$ とします。各 $a_{k}$ が $a_{k} \le n-k$ であるような $x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}}$ を $u_{1},u_{2}, \ldots u_{r}$ とします。このとき $n=3$ のときの証明で見たように

$\left( \begin{array}{ccccc}\sigma _{1}\left( u_{1} \right) & \sigma _{1}\left( u_{2} \right) & \ldots & \ldots & \sigma _{1}\left( u_{r} \right) \\ \sigma _{2}\left( u_{1} \right) & \sigma _{2}\left( u_{2} \right) & \ldots & \ldots & \sigma _{2}\left( u_{r} \right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \sigma _{r}\left( u_{1} \right) & \sigma _{r}\left( u_{2} \right) & \ldots & \ldots & \sigma _{r}\left( u_{r} \right) \end{array} \right)$

は正則行列となります。よって $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ を各 $a_{k}$ が $a_{k} \le n-k$ であるような $cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} \ldots x_{n}^{a_{n}}$ の和で書いたものは、 $u_{1}=1$ であるとすると、 $u_{1}$ の係数だけ残って、他の係数は $0$ になります。 $u_{1}$ の係数は基本対称式の多項式だったので、 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は基本対称式の多項式となります。

[証明終わり]