対称式の基本定理(7) - 非専門的シンギュラリティー研究所

対称式の基本定理・証明4・3変数の場合

また別のやり方で証明してみます。まず3変数までの場合です。

基本対称式

$s_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

は対称式となります( $k=1,2, \ldots ,n$ )。これらの対称式を基本対称式といいます。 $n=2$ のときは $x_{1}+x_{2}$ と $x_{1}x_{2}$ が基本対称式となります。 $n=3$ のときは $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ と $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$ と $x_{1}x_{2}x_{3}$ が基本対称式となります。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。これを1変数( $x$ )の場合、2変数( $x,y$ )の場合、3変数( $x,y,z$ )の場合について順に証明します。 1変数( $x$ )の場合は、 $x$ 自身が基本対称式と考えられるので、成り立っています。

2変数( $x,y$ )の場合

この場合基本対称式は $x+y, xy$ となります。

[証明]

$f(x,y)$ を対称式とします。 $a=x+y$ 、 $b=xy$ とおくと $y^{2}-ay+b=0$ となります。 $f(x,y)$ に $x=a-y$ を代入して、 $y^{2}=ay-b$ によって置き換えると、 $x$ を含まず、 $y$ については1次以下にすることができます。よって

$f(x,y)=p(a,b)+q(a,b)y$

と書くことができます。 $f(x,y),p(a,b),q(a,b)$ は対称式なので、この等式は $x$ と $y$ を入れ替えても成立します。すなわち

$f(x,y)=p(a,b)+q(a,b)x$
$f(x,y)=p(a,b)+q(a,b)y$

が成り立ちます。よって

$q(a,b)(x-y)=0$

となりますが、この等式は両辺の多項式が等しいということなので、 $q(a,b)=0$ となります。したがって

$f(x,y)=p(a,b)$

となって、 $f(x,y)$ は基本対称式の多項式となります。

[証明終わり]

3変数( $x,y,z$ )の場合

この場合基本対称式は $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ となります。

[証明]

$f(x,y,z)$ を対称式とします。 $a=x+y+z$ 、 $b=xy+yz+zx$ 、 $c=xyz$ とおくと $z^{3}-az^{2}+bz-c=0$ となります。 $f(x,y,z)$ を $z$ について整理して

$f(x,y,z)=g_{0}(x,y)+g_{1}(x,y)z+g_{2}(x,y)z^{2}+ \cdots +g_{n}(x,y)z^{n}$

と書くと $g_{0}(x,y),g_{1}(x,y),g_{2}(x,y), \cdots ,g_{n}(x,y)$ は $x,y$ の対称式となります。よって2変数の場合より、 $g_{0}(x,y),g_{1}(x,y),g_{2}(x,y), \cdots ,g_{n}(x,y)$ は $a'=x+y$ 、 $b'=xy$ の多項式となります。 $a'=a-z$ 、 $b'=b-a'z=b-(a-z)z=b-az+z^{2}$ を代入して、さらに $z^{3}=az^{2}-bz+c$ によって $z$ の3次以上の項を消去すると