対称式の基本定理(5) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

対称式の基本定理・証明3・3変数の場合

今回はまた別のやり方で証明してみます。例によって3変数までの場合です。基本対称式の定義をまた書いておきます。

基本対称式

$s_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

は対称式となります( $k=1,2, \ldots ,n$ )。これらの対称式を基本対称式といいます。 $n=2$ のときは $x_{1}+x_{2}$ と $x_{1}x_{2}$ が基本対称式となります。 $n=3$ のときは $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ と $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$ と $x_{1}x_{2}x_{3}$ が基本対称式となります。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。これを3変数( $x,y,z$ )の場合について証明します。この場合基本対称式は $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$ となります。

[証明]

$f(x,y,z)$ を対称式とします。まず、いったん $a=x+y+z$ 、 $b=xy+yz+zx$ 、 $c=xyz$ とおきます。すると

$t^{3}-at^{2}+bt-c=(t-x)(t-y)(t-z)$

はどのような $t$ についても成り立つ等式となります( $t$ を変数とする多項式として等しい)。 $t=x$ を代入すると $x^{3}-ax^{2}+bx-c=0$ となるので $x^{3}=ax^{2}-bx+c$ が成り立ちます。

$t^{3}-at^{2}+bt-c$
$=(t-x)(t^{2}+(x-a)t+(x^{2}-ax+b))+(x^{3}-ax^{2}+bx-c)$
$=(t-x)(t^{2}+(x-a)t+(x^{2}-ax+b))$

から

$t^{2}+(x-a)t+(x^{2}-ax+b)=(t-y)(t-z)$

はどのような t についても成り立つ等式となります。 $t=y$ を代入すると $y^{2}+(x-a)y+(x^{2}-ax+b)=0$ より $y^{2}=-(x-a)y-(x^{2}-ax+b)$ となります。

$t^{2}+(x-a)t+(x^{2}-ax+b)$
$=(t-y)(t+(x+y-a))+( (x^{2}-ax+b)+(x+y-a)y)$
$=(t-y)(t+(x+y-a))$

から

$t+(x+y-a)=t-z$

はどのような $t$ についても成り立つ等式となります。 $t=z$ を代入すると $z+(x+y-a)=0$ より $z=-(x+y-a)$ となります。 $f(x,y,z)$ に、以上より得られた $z=-(x+y-a)$ 、 $y^{2}=-(x-a)y-(x^{2}-ax+b)$ 、 $x^{3}=ax^{2}-bx+c$ を順に代入していくと、 $x$ については2次以下、 $y$ については1次以下、 $z$ は無くすることができます。これを $p+qx+rx^{2}+sy+txy+ux^{2}y$ とおきます。 $p,q,r,s,t,u$ は $a,b,c$ の多項式となっています。ここで $p,q,r,s,t,u$ に $a=x+y+z$ 、 $b=xy+yz+zx$ 、 $c=xyz$ を代入して $x,y,z$ だけの式に戻すと

$f(x,y,z)=p+qx+rx^{2}+sy+txy+ux^{2}y$

が成り立っています。 $p,q,r,s,t,u$ は $a,b,c$ の多項式、すなわち対称式となっています。 $f(x,y,z)=p+qx+rx^{2}+sy+txy+ux^{2}y$ を $f$ とおきます。 $f,p,q,r,s,t,u$ は対称式なので、 $x,y,z$ のすべての置換を考えると

$f=p+qx+rx^{2}+sy+txy+ux^{2}y$
$f=p+qy+ry^{2}+sz+tyz+uy^{2}z$
$f=p+qz+rz^{2}+sx+tzx+uz^{2}x$
$f=p+qx+rx^{2}+sz+txz+ux^{2}z$
$f=p+qy+ry^{2}+sx+tyx+uy^{2}x$
$f=p+qz+rz^{2}+sy+tzy+uz^{2}y$

が成り立ちます。これらの等式は $x,y,z$ を変数とする多項式として成り立っています。

$(p-f)+qx+rx^{2}+sy+txy+ux^{2}y=0$
$(p-f)+qy+ry^{2}+sz+tyz+uy^{2}z=0$
$(p-f)+qz+rz^{2}+sx+tzx+uz^{2}x=0$
$(p-f)+qx+rx^{2}+sz+txz+ux^{2}z=0$
$(p-f)+qy+ry^{2}+sx+tyx+uy^{2}x=0$
$(p-f)+qz+rz^{2}+sy+tzy+uz^{2}y=0$