対称式の基本定理(4) - エレファント・コンピューティング調査報告

対称式の基本定理・証明2・一般の場合

今回は一般の場合について証明します。基本対称式の定義をもう一度書いておきます。

基本対称式

$s_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

は対称式となります( $k=1,2, \ldots ,n$ )。これらの対称式を基本対称式といいます。 $n=2$ のときは $x_{1}+x_{2}$ と $x_{1}x_{2}$ が基本対称式となります。 $n=3$ のときは $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ と $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}$ と $x_{1}x_{2}x_{3}$ が基本対称式となります。

多項式の次数

$n$ 変数の多項式は $cx^{a_{1}}_{1}x^{a_{2}}_{2} \ldots x^{a_{n}}_{n}$ という形の式の和となっています。多項式が $0$ ではないとき、この $a_{1}+a_{2}+ \ldots +a_{n}$ の最大値を多項式の次数といいます。 $0$ の次数は定義しないものとします。

対称式の基本定理

[定理]

対称式は基本対称式の多項式となります。

[証明]

変数の個数 $n$ に関する帰納法で証明します(帰納法(上))。

1変数の場合は、成り立っています。

$n \ge 2$ として、 $n-1$ のときには成り立っていると仮定します。

$f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ を対称式とします。 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ が基本対称式の多項式となることを、 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数に関する帰納法で証明します(帰納法(下))。帰納法が二重になっていますので、帰納法(上)、帰納法(下)で区別することにします。

$f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=0$ であるか、 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数が $0$ (すなわち $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ が定数)のときは、明らかに成り立っています。

$f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数が $1$ 以上とします。 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n-1},0)$ は $x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n-1}$ に関する対称式となります。よって帰納法(上)の仮定( $n-1$ 変数の場合)より $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n-1},0)=g(t_{1},t_{2}, \ldots ,t_{n-1})$ を満たす多項式 $g$ が存在します。ここで $t_{1},t_{2}, \ldots ,t_{n-1}$ は $n-1$ 変数の基本対称式

$t_{k}=\displaystyle \sum_{1 \le i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{k} \le n-1}^{}x_{i_{1}}x_{i_{2}} \ldots x_{i_{k}}$

です。 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数が $1$ 以上なので多項式 $g$ は $0$ ではありません。 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})-g(s_{1},s_{2}, \ldots ,s_{n})$ とおくと、 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は対称式で、 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n-1},0)=0$ となります。因数定理より $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は $x_{n}$ で割り切れます。 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は対称式であることから $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は $x_{1}x_{2} \ldots x_{n}=s_{n}$ で割り切れます。よって、 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=s_{n}p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ を満たす対称式 $p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ が存在します。 $g(s_{1},s_{2}, \ldots ,s_{n})$ の次数は、 $g(t_{1},t_{2}, \ldots ,t_{n-1})$ の次数と等しく、 $g(t_{1},t_{2}, \ldots ,t_{n-1})=f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n-1},0)$ の次数は、 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数より小さいか、等しいので、 $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=0$ または $h(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数は、 $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数より小さいか、等しくなります。よって $p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=0$ または $p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数は $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ の次数より小さくなります。

帰納法(下)の仮定により $p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は基本対称式の多項式となります。よって $f(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})=g(s_{1},s_{2}, \ldots ,s_{n})+s_{n}p(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})$ は基本対称式の多項式となります。

よって帰納法(下)、帰納法(上)の証明ができました。

[証明終わり]