第5段階(第1段階を元に戻すことに対応) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

$\xi$ を $h_{m,r}(\xi)$ で表すことによって $\xi$ を $a$ 、 $b$ 、 $c$ の加減乗除と平方根、立方根で表します。

$\eta_m^3 = h_{m,r}(\xi)$ を満たす複素数 $\eta_m$ は3つあります。その1つを $\sqrt[3]{h_{m,r}(\xi)}$ と書きます。このとき他の2つは $\omega \sqrt[3]{h_{m,r}(\xi)}$ 、 $\omega^2 \sqrt[3]{h_{m,r}(\xi)}$ です。 $\xi + \sigma(\xi) + \sigma^2(\xi)$ は、これ自体が $\sigma$ で不変なので、1つの値に決まってしまいます(これを $\sqrt[3]{h_{m,r}(\xi)}$ とします)。 $\xi + \omega \sigma(\xi) + \omega^2 \sigma^2(\xi)$ と $\xi + \omega^2 \sigma(\xi) + \omega \sigma^2(\xi)$ の方は、異なる3つの値になる可能性があります。したがって

$\LARGE \xi + \sigma(\xi) + \sigma^2(\xi) = \sqrt[3]{h_{0,r}(\xi)}$
$\LARGE \xi + \omega \sigma(\xi) + \omega^2 \sigma^2(\xi) = \omega^u\sqrt[3]{h_{1,s}(\xi)}$
$\LARGE \xi + \omega^2 \sigma(\xi) + \omega \sigma^2(\xi) = \omega^v\sqrt[3]{h_{2,t}(\xi)}$

となります( $r,s,t=0,1; u,v=0,1,2$ )。これを $\xi$ 、 $\sigma(\xi)$ 、 $\sigma^2(\xi)$ について解いて

$\LARGE \xi = \frac{1}{3}{\left(\sqrt[3]{h_{0,r}(\xi)} + \omega^{u} \sqrt[3]{h_{1,s}(\xi)} + \omega^{v} \sqrt[3]{h_{2,t}(\xi)}\right)}$
$\LARGE \sigma(\xi) = \frac{1}{3}{\left(\sqrt[3]{h_{0,r}(\xi)} + \omega^{u+2} \sqrt[3]{h_{1,s}(\xi)} + \omega^{v+1} \sqrt[3]{h_{2,t}(\xi)}\right)}$
$\LARGE \sigma^2(\xi) = \frac{1}{3}{\left(\sqrt[3]{h_{0,r}(\xi)} + \omega^{u+1} \sqrt[3]{h_{1,s}(\xi)} + \omega^{v+2} \sqrt[3]{h_{2,t}(\xi)}\right)}$

となります( $r=0,1; s,t=0,1,2$ )。

$k_{r,s,t,u,v}(\xi) = \frac{1}{3}{\left(\sqrt[3]{h_{0,r}(\xi)} + \omega^{u} \sqrt[3]{h_{1,s}(\xi)} + \omega^{v} \sqrt[3]{h_{2,t}(\xi)}\right)}$ とおきます( $r,s,t=0,1;u,v=0,1,2$ )。 $\xi$ と $\sigma(\xi)$ と $\sigma^2(\xi)$ の式より $h_{m,r}(\xi) = \tau^r(h_{m,r}(\xi))$ となります( $r,s,t,u,v=0,1,2,\cdots$ )。