エラトステネスのふるい(1)
一般の整域の場合
ここでは既約元の定義から「エラトステネスのふるい」を一般化したものを導くことを考えます。
を整域とします。
は
となる
が存在するとき
の単元と呼びます。
の単元全体の集合を
と書きます。
とおきます。
は以下の条件を満たすとき
の既約元と呼びます。
- (1)
- (2) 任意の
に対して
ならば
または
の部分集合
、
に対して
を
と書くことにします。
を
と書くことにします。
、
とすると
となります。よって条件(2)は
と同値となります。よって
が既約元であることは
と同値となるので、
の既約元全体を
とすると
となります。
を以下で述べるような条件(S2)、(S3)、(S4)を満たす写像とします。
の部分集合の列
を
と帰納的に定義します。このとき
- (S1)
が成り立つとします( のときは成り立ちます)。この条件(S1)により
を定義することができます。
とおきます。
より
、
、
、
、
となります。
とすると
なので
、
となる
が存在します。
より
となりますが、
より
となるので、このようは
は存在しません。
よって となります。
は
- (S2)
を満たすとします( のときは
を絶対値をとる写像とすると成り立ちます)。この条件(S2)により
となって
とおくと
が成り立ちます。
は
- (S3)
- (S4)
を満たすとします(、
を絶対値をとる写像とすると成り立ちます)。
、
とすると
となります。
となり (S3)より
となるので
となります。(S4)より
となるので
、
となります。よって
となって
となります。
よって となります。