エレファントな整数論(11) - エレファント・ビジュアライザー調査記録

エラトステネスのふるい(1)

一般の整域の場合

ここでは既約元の定義から「エラトステネスのふるい」を一般化したものを導くことを考えます。

$R$ を整域とします。

$a \in R$ は $ab = 1$ となる $b \in R$ が存在するとき $R$ の単元と呼びます。 $R$ の単元全体の集合を $R^\times$ と書きます。

$S = R \setminus ( R^\times \cup \{0\} )$ とおきます。 $a \in R$ は以下の条件を満たすとき $R$ の既約元と呼びます。

(1) $a \in S$
(2) 任意の $b, c \in R$ に対して $a = bc$ ならば $b \in R^\times$ または $c \in R^\times$

$R$ の部分集合 $X$ 、 $Y$ に対して $\{ xy \mid x \in X, y \in Y \}$ を $XY$ と書くことにします。 $XX$ を $X^2$ と書くことにします。

$b \notin R^\times$ 、 $c \notin R^\times$ とすると $bc \in (S \cup \{0\})(S \cup \{0\}) = S^2 \cup \{0\}$ となります。よって条件(2)は $a \in R \setminus (S^2 \cup \{0\})$ と同値となります。よって $a$ が既約元であることは $a \in S \setminus S^2$ と同値となるので、 $R$ の既約元全体を $P$ とすると $P = S \setminus S^2$ となります。

$f: S \to \mathbb{N}$ を以下で述べるような条件(S2)、(S3)、(S4)を満たす写像とします。 $S$ の部分集合の列 $P_0, P_1, P_2, \cdots$ を

$P_0 = \varnothing$
$P_{n+1} = P_n \cup f^{-1}(\min f(S \setminus P_n R))$

と帰納的に定義します。このとき

(S1) $S \setminus P_n R \ne \varnothing$

が成り立つとします( $R = \mathbb{Z}$ のときは成り立ちます)。この条件(S1)により $P_0, P_1, P_2, \cdots$ を定義することができます。 $m_{n} = \min f(S \setminus P_n R)$ とおきます。

$P_n \subseteq P_{n+1}$ より $P_n R \subseteq P_{n+1} R$ 、 $S \setminus P_n R \supseteq S \setminus P_{n+1} R$ 、 $f(S \setminus P_n R) \supseteq f(S \setminus P_{n+1} R)$ 、 $\min f(S \setminus P_n R) \le \min f(S \setminus P_{n+1}) R$ 、 $m_{n+1} \le m_{n+2}$ となります。

$m_{n+1} = m_{n+2}$ とすると $m_{n+1} = m_{n+2} \in f(S \setminus P_{n+1} R)$ なので $m_{n+1} = f(a)$ 、 $a \in S \setminus P_{n+1} R$ となる $a$ が存在します。 $m_{n+1} = f(a)$ より $a \in f^{-1}(m_{n+1}) \subseteq P_{n+1}$ となりますが、 $a \in S \setminus P_{n+1} R$ より $a \notin P_{n+1} R \supseteq P_{n+1} \{1\} = P_{n+1}$ となるので、このようは $a$ は存在しません。

よって $m_0 < m_1 < m_2 < \cdots$ となります。

$f$ は

(S2) $f^{-1}( \min f(S \setminus P_n R) ) \subseteq P$

を満たすとします( $R = \mathbb{Z}$ のときは $f$ を絶対値をとる写像とすると成り立ちます)。この条件(S2)により $P_{n+1} = f^{-1}(m_0) \cup f^{-1}(m_1) \cup \cdots \cup f^{-1}(m_n) \subseteq P$ となって $P^* = P_1 \cup P_2 \cup P_3 \cup \cdots$ とおくと $P^* \subseteq P$ が成り立ちます。

$f$ は

(S3) $a \in S, \ b \in R, \ f(a) \le f(b) \implies b \in S$
(S4) $a \in R, \ m_n < f(a) \implies a \notin P_{n+1}$

を満たすとします( $R = \mathbb{Z}$ 、 $f$ を絶対値をとる写像とすると成り立ちます)。

$a \in R$ 、 $m_n < f(a) < m_{n+1}$ とすると $f(a) \notin f(S \setminus P_{n+1} R)$ となります。 $a \notin S \setminus P_{n+1} R$ となり (S3)より $a \in S$ となるので $a \in P_{n+1} R \subseteq P_{n+1} \cup P_{n+1} S \subseteq P_{n+1} \cup S^2$ となります。(S4)より $a \notin P_{n+1}$ となるので $a \in S^2$ 、 $a \notin P$ となります。よって $f(P) \subseteq \{m_0, m_1, m_2, \cdots \}$ となって $P \subseteq f^{-1}(\{m_0, m_1, m_2, \cdots \}) =P^*$ となります。

よって $P = P^* = P_1 \cup P_2 \cup P_3 \cup \cdots$ となります。