第1段階 - エレファント・コンピューティング調査報告

まず、 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の多項式 $\xi$ から $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ のある変換 $\sigma$ で変わらない多項式 $f_m(\xi)$ を作ります。

$\xi$ を $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の多項式とします。 $\sigma$ を $\sigma(\alpha) = \beta$ 、 $\sigma(\beta) = \gamma$ 、 $\sigma(\gamma) = \alpha$ となる $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の多項式上の変換とすると、 $\sigma^3 = 1$ となります。 $\eta_m = \xi + \omega^m \sigma(\xi) + \omega^{2m} \sigma^2(\xi)$ とおくと( $m = 0, 1, 2$ )、

$\LARGE \sigma(\eta_m) = \sigma(\xi) + \omega^m \sigma^2(\xi) + \omega^{2m} \sigma^3(\xi)$
$\LARGE = \omega^{2m} \xi + \sigma(\xi) + \omega^m \sigma^2(\xi) = \omega^{2m} \eta_m$

となるので $\sigma(\eta_m^3) = \sigma(\eta_m)^3 = (\omega^{2m} \eta_m)^3 = \eta_m^3$ となります。したがって

$\LARGE f_m(\xi) = (\xi + \omega^m \sigma(\xi) + \omega^{2m} \sigma^2(\xi))^3$

とおくと、 $\sigma(f_m(\xi)) = f_m(\xi)$ となります( $m = 0, 1, 2$ )。