第3段階 - エレファント・コンピューティング調査報告

次に、第2段階で作った $g_{m,n}(\xi)$ を $a$ 、 $b$ 、 $c$ の多項式として表します。

$G$ を $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の対称群 $G = S({\alpha, \beta, \gamma})$ とします。 $H = <\sigma>$ は $G$ の正規部分群となります。 $G = <\sigma, \tau>$ となります。 $\sigma(g_{m,n}(\xi)) = g_{m,n}(\xi)$ 、 $\tau(g_{m,n}(\xi)) = g_{m,n}(\xi)$ であることから $g_{m,n}(\xi)$ は $G$ のすべての変換で不変となります。

$\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の多項式で、 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ を入れ替えても変わらないものを $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の対称式といいます。 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の対称式は $a$ 、 $b$ 、 $c$ の多項式として表すことができます。

したがって $g_{m,n}(\xi)$ は $a$ 、 $b$ 、 $c$ の多項式として表すことができます。すなわち任意の $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の多項式 $\xi$ に対して、上のように $g_{m,n}(\xi)$ を作ると、 $g_{m,n}(\xi)$ は $a$ 、 $b$ 、 $c$ の多項式 $p(a, b, c)$ として表すことができます。